娘の志望校の過去問ですが、解説がありません。どなた

質問

娘の志望校の過去問ですが、解説がありません。どなたかご助言お願いいたします。
「たて18cm×横24cmのタイルAと、たて6cm×9cmのタイルBがある。これらのタイルを、たて1.8m×横3mの部屋に隙間なく並べたい。Aのタイルの数を最大にするとき、2種類のタイルはそれぞれ何枚ずつ必要か」

答えはA124枚、B8枚となっています。
AとBをどう配置すればぴったり隙間なく並ぶのか、その見つけ方が分かりません。求め方、考え方を含めてお教えいただけたら、と存じます。

どうぞ宜しくお願いいたします。

回答No.4

cbm51901 · ベストアンサー

> あのような配置を見つけ出す方法はあるのでしょうか。

⇒ 数式で自動的にあの配置図に辿り着くのは困難だと思います。
但し幾つかポイントはあるので、それを頼りに実際に図を描いてみることだと思います。

1. 部屋のたての長さが180cmで、タイルAのたての長さが18cm、横の長さが24cm。
　⇒ タイルAを横向きにして敷くと、たて方向にぴったり10枚敷き詰めること
　　 ができる。（180cm ÷ 18cm = 10枚あまり0 cm）
　⇒ 一方、タイルAをたて向きにして敷き詰めると、下に12cmの余白ができて
　　しまう。（180cm ÷ 24cm = 7枚あまり12cm）
　⇒ 従ってタイルAは、横向きにして、たて方向に敷き詰めるのが効率的だと推
　　 測される。

2. タイルAを横向きにして敷いた場合、部屋の横の長さが300cmなので、タイルAを最大で12枚、横方向に敷くことができる。
（300cm ÷ 24cm = 12枚あまり12cm）

しかしながらこの場合、部屋の右端に、たて180cm x 横12cmの「死んだスペース」ができてしまう。そこで、横方向に敷くタイルAを幅1枚分減らして、11枚にする（300cm ÷ 24cm = 11枚あまり36cm）。この結果、右端の余白スペースは、たて180cm x 横36cm となる。
因みにここまでで使用したタイルAの数は、たて方向に10枚、横方向に11枚、なので 10 x 11 = 110枚。

次に、右端の余白スペースだが、タイルAをたて向き（たて24cm x 横18cm）にしたとき、当該スペース（たて180cm x 横36cm）に敷くことのできるタイルAの数は、
たて方向：180cm ÷ 24cm = 7 あまり12cm
横方向：36cm ÷ 18cm = 2 あまり0cm
⇒ 7 x 2 = 14 で14枚 となる。

最後に、余ったスペース（12cm x 36cm）をタイルB (6cm x 9cm) で埋めます。

考え方はNo.3 の方と同じです。

回答No.3

muturajcp

Bのタイルを使うという条件がなくても
Aのタイル125枚だけで部屋を隙間なく埋めることはできません
125枚は間違いです

タイルA
縦18cm
横24cm

部屋
縦180cm
縦300cm

180=18*10
300=24*12+12

タイルAを
縦に10枚
横に12枚
ならべると
縦180cm*横12cm
隙間ができるので
Aのタイルの短辺は18cm>12cmなので

Aのタイルだけで部屋を隙間なく埋めることはできません

そこで
横12枚を11枚に減らすと
300=24*11+36
だから
タイルAを
縦に10枚
横に11枚
110枚…(A1)
ならべると
縦180cm*横36cm
隙間ができる

タイルAの縦と横の向きを変えて
縦24cm
横18cm
として
180=24*7+12
36=18*2
タイルAを
縦に7枚
横に2枚
7*2=14枚…(A2)
ならべると
縦12cm*横36cm
隙間ができる

タイルB
縦6cm
横9cm

12=6*2
36=9*4
タイルB
縦に2枚
横に4枚
2*4=8枚…(B)
ならべると
隙間なく並べることができる
(A1)+(A2),(B)から

A,110+14=124枚
B,8枚

回答No.2

cbm51901

No.1 さんの解説通り、54000平方センチメートル（1.8m x 3m）の面積の中に、432平方センチメートルの面積は、125個分入ります。

しかしながらこれは必ずしも、18cm x 24cm の面積が125個分入るというわけではありません。実際には、18cm x 24cm が 124個分入り、余った 432平方センチメートルのスペースの寸法は、12cm x 36cm になります。[12cm x 36cm] の寸法に [18cm x 24cm] のタイルは入りませんから、[12cm x 36cm] は [6cm x 9cm] のタイルをもって埋めなくてはなりません。そのためには [6cm x 9cm] のタイルが 8個必要になるのです。

お礼

図まで付けてくださって大変ありがとうございました。心よりお礼申し上げます。

見事な配置に感嘆いたしましたが、あのような配置を見つけ出す方法はあるのでしょうか。主人と二人で頭をさんざんひねったのですが、お答えのような配置は思い浮かびませんでした（汗）

回答No.1

abc0

「Bのタイルは少なくとも1枚は使う」という文をいれてほしいですね。
この問題文のままだと、
Aの数＞0
Bの数≧0
となり、Aの数を最大にという条件だけだと、Bの数が0ということも含まれます。

一応回答通りの答えを出すなら

Aのタイルの数をx
Bのタイルの数をy

部屋の寸法がメートルなのでセンチメートルに直して計算すると

（180✕300）=（18✕24）x　+　（6✕9）y
54000=432x +　54y

ここでxを最大にするわけですから、yを0として考える（Bの数≧0だから）と
54000=432x
54000/432=x
x=125となります。

つまり、Aのタイルだけで部屋を隙間なく埋めることができます。

問題文のままだとAのタイルの数は125になります。

一応、回答通りの答えを出すために、
「少なくともBのタイルを1枚は使う」という認識でいきますと、
Bの数＞0
125枚でAのタイルで部屋いっぱいになるので、
少なくともBを1枚使うためには
Aを1枚減らして124枚にします。
つまり、x=124

54000=124✕432+54y

これを計算するとy=8となります。

お礼

早速のご回答誠にありがとうございました。ご指摘の数は出すことはできたのですが、子供に「で、どうやって並べるの？」と言われて困ってしまっておききした次第です（汗）