最小公倍数と互いに素
A、B、C・・・の最大公約数を(A、B、C・・・)最小公倍数を[A、B、C・・・]で表します。(例)(4165、6035)=85 [4165、6035]=295715 A、Bが互いに素 (A、B)=1
お願いします。分からないのは約数を持つか判定するところです。問題は、
0<a<b<cを満たす3個の整数a、b、cがある。次の関係を同時に満たすa、b、cを求めよ。
(1)a、b、cの最大公約数は45である。
(2)bとcの最大公約数は225、最小公倍数は1350である。
(3)aとbの最小公倍数は3150である。
解答 条件(1)より a=45a'、b=45b'、c=45c'(a'、b'、c'は整数)・・・[1]とおくと、
(a'、b'、c')=1、 0<a'<b'<c'・・・[2]
条件(2)より(b、c)=45(b'、c')=225 ∴(b'、c')=5・・・[3]
[b、c]=45[b'、c']=1350 ∴[b'、c']=30・・・[4]
[3]よりb'=5b''、c'=5c''とおけば (b''、c'')=1 ・・・[5] で[4]より 5[b''、c'']=30 ∴
[b''、c'']=6・・・[6]
b<cよりb''<c''これと[5]、[6]より b''=1、c''=6 または b''=2、c''=3
(イ)b''=1、c''=6のとき b=45*5*1=225、 c=45*5*6=1350 条件[3]より[a、b]=[45a'、225]=45[a'、5]=3150 ∴[a'、5]=70 70=2*5*7より
a'は2、5、7のうち１つ以上の約数をもつ。・・・[7]
ここで条件[2]より0<a'<5、そしてa'が約数２をもつとすると、a'=2a''となる整数a''がある。0<a'<5に代入して、0<2a''<5 ∴0<a''<5/2より a''=1または2 [a'、5]=70に代入すると、[2,5]=70または[4,5]=70となり矛盾。a'が約数２をもたない。
よって(a'、2)=1。 同様にしてa'=5a''のとき、0<5a''<5 ∴ 0<a''<1 より 条件を満たす整数a''はないa'が約数5をもたない。 (a',5)=1。
最後にa'=7a''のとき、0<7a''<5 ∴ 0<a''<5/7 より条件を満たす整数a''はない a'が約数7をもたない。(a'、7)=1。 でもこれらa'は2、5、7を約数を持たないという結果
(a'はそれぞれの数と互いに素)は、[7]に矛盾します。またA、Bの最大公約数をG、最小公倍数をLとするとAB=GLからa'を求めると、[a'、5]=70、(a',5)=1より 5a'=70*1 より a'=14=2*7 とa'は2、7を約数に持ち。途中の計算と矛盾します。また、このa'=14という数は問題の答えに不適なので、そのあたりが矛盾につながったのかもしれません。
どなたかこの矛盾点を解決し、a'は2と7を約数に持つことをしるしてください。お願いします。解答は続けて、このときa=45*14=630>225=bとなり不適。
(ロ)b''=2、c''=3のときb=45*5*2=450、c=45*5*3=675 条件[3]より[a、b]=[45a'、450]=45[a'、10]=3150 ∴[a'、10]=70 b"=2だからb'=5b"=5*2=10だからb'=10
0<a'<b'<c'…[2] から0<a'<b'=10だから0<a'<10。[a',10]=70だからa'は70=2*5*7の約数
a'=2a"となる整数a"があると仮定すると
0<2a"<10∴0<a"<5
[a',10]=[2a",10]=2[a",5]=70
35=[a",5]≦5a"<25
となって矛盾するから
(a',2)=1
a'=5a"となる整数a"があると仮定すると
0<5a"<10
0<a"<2
a"=1
a'=5
70=[a',10]=[5,10]=10
となって矛盾するから
(a',5)=1
{(a',2)=1}&{(a',5)=1}だから(a',10)=1∴a'=7
またb'=10、c'=15だからこれらは[2]の条件を満たしている。a=45*7=315
答え a=315、b=450、c=675
お礼
１以外の数では、「互いに素」と言ったら「一方が他方の倍数になっていない」 ということが言えるので、ひょっとすると、定義を覚え違いしているか、もっといい定義があるのかな、と思って質問しました。 回答していただいた例のような実用面を考えると、確かに今の定義でいいんですね。 ありがとうございました。