不確実性下の選択

質問

保険の購入に関するミクロ経済学の問題です。

危険中立的で独占的な保険会社が、危険回避的な顧客に傷害保険を提供する。事故は確率0.2で起きる。保険に加入しないとき、顧客の資産は、事故が起きないならば100、事故が起きるならば25である。顧客の資産Wからのフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン効用はU=W^1/2で与えられる。したがって、保険に加入しない場合の顧客の期待効用は0.8(100)^1/2+0.2(25)^1/2である。保険料Rを顧客に要求、事故時に保険金Pが顧客に支払われる保険契約を想定する。この独占的な保険会社が（P,R）を顧客に提示し、顧客がそれを受け入れるか否かを決める市場を考える。均衡での（P,R）をもとめ、これが均衡であることを説明しなさい。

どなたかご教授くださいませ。。。。

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

計算してみました？
答えだけ書いておくので、ご自分の計算と合っているかどうか確かめてください。
P=56, R=19
したがって、このとき顧客の期待効用は９で、加入しないときと同じ値となり、保険会社の期待利潤は４となる。
同じ条件のもとで、保険会社が独占ではなく、競争企業だったら、（P,R)はいくらに定まり、そのとき保険会社の期待利潤と顧客の期待効用はいくらになるのか調べてみるとおもしろい。トライしてごらんなさい！

お礼

ご丁寧にありがとうございます！

回答No.2

statecollege

回答１にはRとPが逆になっている部分があるので訂正すると最後の部分は以下のようになる。

max EΠ＝0.8R-0.2P
s.t.
0.8(100-R)^1/2 + 0.2(25+P)^1/2≧9
を解く組（P,R)を見つけることだ。どうやって解いたらよい？

この「宿題」を解いてみたんでしょうか？通常の方法はラグランジェ法。λをラグランジェ乗数として、ラグランジェ関数を
L = 0.8R - 0.2P + λ[0.8(100-R)^1/2 + 0.2(25+P)^1/2 - 9]
と定義する。最大化の1階の条件はLをそれぞれP、R、λで微分して０と置く。
0 = ∂L/∂R＝0.8 - 0.4λ(100-R)^(-1/2)
0 = ∂L/∂P = -0.2 + 0.1 λ(25+P)^(-1/2)
0 = ∂L/∂λ = 0.8(100-R)^1/2 + 0.2(25+P)^1/2 - 9
となるので、これらをR、Pについて解けばよい。（第1式と2式からλを消去したあと、第3式と連立させてRとPを求める。）

回答No.1

statecollege

保険会社の期待利潤をEΠと書くと
EΠ=0.8R-0.2P (1)
となる。事故が起きないときにのみ保険料Rを徴収し、事故が起きたときは保険料は徴収せず、保険金Pを顧客に支払う。
なお、保険料Rは事故が起きても起きなくても事前に徴収するとしてもよい。そのとき事故が起きて保険会社が支払う保険金をP'と書くと、保険会社がの期待利潤は
EΠ＝R-0.2P'
となる。前者の書き方では、事故が起きないときに保険料Rを顧客から徴収し、事故が起きたとき保険金P'を支払うとすると、PとP'との間には
P = P' - R
が成り立つ（確かめてください）。以下では前者の記号法を用いる。後者の記号法を使いたい人はこの関係式を用いてPをP'に変換すればよい。

一方顧客が保険に加入するのは、保険に加入したときの期待効用が保険に加入しないときの期待効用を上回るときなので、
EU=0.8(100-R)^1/2 + 0.2(25+P)^1/2 ≧0.8(100)^1/2 + 0.2(25)^1/2 = 9 (2)
を満たさなければならない。(2)を顧客の「参加制約」という。よって、独占保険会社の目的は顧客の参加制約(2)の下で期待利潤（1）を最大化するPとRの組を選ぶことである。つまり、保険会社の問題は、最大化問題

max EΠ＝0.8P-0.2R
s.t.
0.8(100-R)^1/2 + 0.2(25+P)^1/2≧9

を解く組（P,R)を見つけることだ。どうやって解いたらよい？

補足

ご回答いただきましてありがとうございます。
自分で解いてみたときは、顧客は事故が起きても起きなくても保険料Rは事前に支払い、事故が起きたら保険金Pを貰えるが、事故が起きないのであればRは返済されないしPも貰えないものだと考えていました。その場合は保険会社の期待利潤はEπ＝0.8R-0.2(R-P)、顧客の参加制約は0.8(100-R)^1/2+0.2(25-R+P)^1/2≧18として計算すればよいのでしょうか。
また、仮にそうだとしたときにラグランジュ未定乗数法を用いて解いてみたのですが、途中からわからなくなってしまいました。まずこの過程が間違っているのでしょうか。
お手数ですがご返答いただけますと幸いです。