数学的に大きさというものは定義できますか。

質問

色々な大きさがあるのかもしれませんが、・・・。

回答No.5

QCD2001 · ベストアンサー

「数学的に」という用語をどのような意味で使っているのでしょうか？

たとえば、幾何学の分野で「距離空間」と呼ばれる概念があります。これは「距離」が定義されているような空間を指します。

距離の定義は

ある集合の中の任意の2つの要素 a b について
負でない実数Ｄ(a,b)が一意的に決められ、

Ｄ(a,a)＝0
Ｄ(a,b)＝Ｄ(b,a)
Ｄ(a,b)＋Ｄ(b,c)≧Ｄ(a,c)

であるとき
Ｄ(a,b)を a と b の距離と呼び、その集合には距離が定義されていると言う

ここで、「距離」という概念を定義したように「大きさ」という「概念」を数学で定義しているかどうかを知りたいのですか？

それとも、いろいろな量に対して「大きさを定義する」ことができるかどうか、をお知りになりたいのですか？

No.4の方が、
「全てのものに対して大きさを定義することは不可能でした。」
と書いています。
これは、「大きさ」という概念そのものが定義されていないと「ある量に対して定義したものが「大きさ」の定義に当てはまるかどうかを判断できませんから、「大きさ」という概念は定義されているのだと思います。

お礼

ご教示をいただいてあらためて普段自分がいかにあいまいな前提で物事に取り組んでいるかを思い知らされます。何かを始める前にそれがうまくいくことが確信できる場合数学的と言えるのではないかと思っています。前提というのは定義のことのようにも思います。試してみて初めてその前提が成立することがわかるのは数学的ではないと思います。試行錯誤はもっとも数学的でないと思います。あいまいな前提で試行錯誤で生活している私はこのタイプの人間です。

回答No.7

nagata2017

数学的に大きいというと　比較でしか表現できないと思います。
aはbより大きいといったことを不等号で表現する。
漠然とした「大きい」は個人の感想なので　数学からはかけ離れたものになると思います。

お礼

不等号で表現されるものdすね。量というようなものはどうなのしょうか。

回答No.6

QCD2001

＃５です。

＞何かを始める前にそれがうまくいくことが確信できる場合数学的と言えるのではないかと思っています

それは違います。
前の回答で書いた距離空間でも、「距離」という概念をどのように定義したら論理的な矛盾を生じないような体系を作れるのか、いろいろと「距離の定義」を作ってみて、試行錯誤して最終的にこの定義に到達したのです。「始める前にそれがうまくいくことが確信できる場合」なんてありません。

例えば虚数という概念があります。これは2乗すると－1になる数です。このような数を仮定した場合に、内部に矛盾のないような論理体系を構築することができるかどうかも、試行錯誤でやってみなければわかりません。

2乗して－1になるような数は1つしかないのか？2つ以上あるのか？これも試行錯誤で試してみなければわかりません。
現在は虚数としてｉひとつだけを仮定した「複素数」のほかに
ｉ、j、K、の3つの虚数を仮定した「４元数」と呼ばれるものが論理的な矛盾を含まない系として知られています。
４元数では、
ｉ×ｊ＝－ｊ×ｉ＝ｋ
というように、掛け算の順番を変えるとマイナスの符号がつきます。こういう計算ルールをつけると矛盾のない系が作れることは、試行錯誤でやってみてわかったことです。

「定義」というのは「約束」です。「こういうときには、こうである。ということにしよう」という約束です。その約束に従って論理展開をしたときに矛盾が生じないような「約束」になっているかどうかは、やってみないとわかりません。

数学では定義を厳密に決めます。
「厳密に」というのは、何を持ってきても、それが定義に当てはまるかどうかがすぐに判断できる」という意味です。
「定義に当てはまるようにも思えるし、当てはまらないようにも思えるし・・・？」
というようなことが生じるとしたら、それは定義が厳密ではないのです。厳密な定義の基に、論理展開をして行ったときに、どのような性質が見つかるのかを試行錯誤で探してゆくのが数学の研究です。最初からどうなるのかわかっていたら、研究の必要はありません。

厳密な定義と、論理の展開と試行錯誤が、数学をはじめとした科学の根本と言っても過言ではありません。

お礼

学校の授業で最終的結論だけを学ぶ凡庸な初学者にとっては試行錯誤は徒労の同義語だと思います。もちろん試行錯誤が発見や発明にとって本質的に重要な作業であることは分かっております。

回答No.4

-q7P2izb__

興味があるので、回答します。
私も、数学の次に物理をやっていて、同じことを考えました。
1秒って世界共通ですが、どうやって定義されているのか、
また、1kgも重さの大きさですが、どうやって定義されているのか、
知りたくて、ナツメ社の単位のなんちゃらっていう本を買いました。

すると1秒は光の速さの何億分の1という計算の結果定義されているそうです。
1kgに関しては忘れてしまいましたが、近年1kg重を定義づける金属の塊が、
新たに科学博物館に展示されていましたね。。。どうでもいい話ですが。。

肝心な、数学的に大きさを定義できるかどうかですが、
答えは、Noでした。
厳密には、全てのものに対して大きさを定義することは不可能でした。
大学の測度論だったかで学びました。
代数や解析学の教授が試験で全く同じ問題を出したので。
具体的な内容などは提示できず申し訳ありませんが、
これが私の答えです。

お礼

大きさでなくても数学における定義というものが全くわからないままでいるので困っています。ちょっとでもわかるとずいぶん嬉しいだろうと想像しています。

回答No.3

FEX2053

「大きさ」というものを、○○の「面積」とか「体積」と定義すれば、
それらが「数値」として表すことができるために、問題なく「数学的」に
"大きさ"が定義できます。

逆に言えば、「大きさ」を「数値で表すことができないもの」、例えば
「心の大きさ」なんてものとしたならば、当然「大きさ」は数値では
表現できなくなり、数学的に定義できなくなります。

ま、もっとも、「心の大きさ」を特定のテストなどで数値化するなら、
数学的に定義できるようにはなりますよね。双極性障害の症状を確認
するガイドラインなどが、それに当たるかもしれません。

数学は「物事を極端に抽象化し、式として扱うことができるようにして
比較する」学問です。ですので「大きさ」をどう定義するかで「数学的」
に定義できるかが決まってきますよ。

お礼

ご教示を繰り返し読ませていただいて少しでも理解に近づきたいと思います。

回答No.2

qwe2010

大きさは、単位として、定義されていると思うのだが。

お礼

単位として定義されているというのは数学的なのでしょうか。

回答No.1

copemaru

基本、大きさというものは、感覚的なものです。
例えば、大きい人は、小さな子象より小さい訳ですから。
ただ、無量大数や無限大より大きな数字(値)は無いことになっています。

お礼

数学的かそうでないかという基準はないのでしょうか。