微分積分、放物線と接線、なぜ接線が重要？

質問

７７歳です。不徳だった数学ですが微分積分を少し勉強しようとしてます。
微分を学ぶ上でその接線が必要不可欠のようです。その理由がよく理解できないでおります。
極めて初歩的な質問ですが教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

okwavey2 · ベストアンサー

主観的回答なので、その一例として受け取って頂ければ良いかと思います。

まず、放物線は二次関数のグラフとで、 ２つの変数の関係を表すものです。

物理学的な話も絡んでしまいますが、空気抵抗などを考えなければ、物体を投げると放物線を描くと言うのが実例です。

この時、横方向の位置をx,縦方向の位置をyとして、その位置の関係をグラフに表すと放物線になります。

元々関数は、２つの値の関係を表しているものなので、二次関数そのものが、物体を投げたときの物体の軌跡を表していると言うのも一例です。

二次関数の放物線で、物体を投げたときの軌跡を表しているということが分かったところで、微分する意味を説明致します。

微分をすると、接線が分かるわけではありません。『接線の傾き＝変化の度合い』がわかります。

接線の傾きは、変化の度合いです。

関数f(x)=ax^2 +bx +c

という二次関数があるときに

f´(x) = ax +b
が意味するのは、yの変化の度合いです。

xに特定の値を代入すると、その時のyの変化の度合いがわかります。

変化の度合いと言うとわかりづらいですが、物体を投げたときの例で言えば速度です。

位置の変化を速度としているので、これを知るために微分が必要という事だと思いますが、いかがでしょうか。

まとめると、関数は何らかの関係性を表すもので、その変化を表すものが微分ということです。

お礼

有難うございました。接線の傾きが変化のスピードの変化とのご指摘は理解する上の重要な点と理解しました。少しは理解が出来るようです。少しでも半歩でも次の勉強に進みながら微分のより解釈がが出来るよう努力したいと思います。有難うございました。

回答No.2

noname#242965

こんにちは。
77歳と言うお歳を聞いて回答する気になりました。
Ｙ＝Ｘ＾ｎと言う関数があります。微分すると
Ｙ’＝ｎＸ＾（ｎ－１）です。これは公式ですが、これでよいです。

Ｙ＝Ｘ＾ｎと言う関数についての微分はこれでおしまいです。
同じところを根掘り葉掘りやるよりも、一歩でも半歩でも上へ上ることを
薦めます。結局はこのやり方が効率の良い勉強方法だと後になって
わかるはずです。

お礼

半歩でも次に進んでみる事が、理解が出来る手段とのご指摘、そのような気分です。少しづつ勉強を続けたいと思います。有難うございました。