a を解とする 斉次線型漸化式を つくり

質問

「難問克服 解いてわかるガロア理論」 ▼藤田岳彦 (著)▼
　　　 に　a[n]=2^(3*n+5)+3^(n+1) ●5|a[n] 問題● 在り。
　 　a を解とする　斉次線型漸化式を　つくり 其の証明を　是非願います。
　　　　　　 は瞬時に　済まされた　筈；公開　を　再三　願います;　　　

「何度も言うよ」と　アスカ　も云う;
https://www.youtube.com/watch?v=Q9qAyt0G-jM

↓　に　推奨らしい　数学的帰納法に　よる　ex; 6|(n^3 - 6*n^2 + 11*n)の
https://dictionary.goo.ne.jp/jn/78354/example/m0u/
　　　　youtube 桃色吐息 異国の響きあり
　　　 ◆小細工に　よる　証明　が　在る◆ [416p] ;
https://books.google.co.jp/books?id=Aq9TCwAAQBAJ&pg=PA416&lpg=PA416&dq

　　　　　　　　a[n]=n^3 - 6*n^2 + 11*n
a を解とする　斉次線型漸化式を　つくり 其の証明を　是非願います。
[そして　両者の何れを　お気に入り　と　されるか　理由付の解説を願う]

　　　　　　　a[n]=2^(2*n + 1) + 1
　　　　　　　　3|2^(2*n + 1) + 1 の
◆小細工に　よる　証明　が　在る◆ 　== 遊びついでに ==
a を解とする　斉次線型漸化式を　つくり 其の証明を　是非願います。

https://www.youtube.com/watch?v=KloD-2ksHQQ&list=RDKloD-2ksHQQ&start_radio=1#t=23

回答No.1

muturajcp

a[n]=2^(3n+5)+3^(n+1)
↓nをn+1に置き換えると
a[n+1]=2^(3n+8)+3^(n+2)…(1)
(1)の両辺に3をかけると
3a[n]=3*2^(3n+5)+3^(n+2)
↓(1)からこれを引くと
a[n+1]-3a[n]=5*2^(3n+5)…(2)
両辺に3a[n]を加えると
a[n+1]=3a[n]+5*2^(3n+5)…(3)
(2)のnをn+1に置き換えると
a[n+2]-3a[n+1]=5*2^(3n+8)…(4)
(2)の両辺に8をかけると
8a[n+1]-24a[n]=5*2^(3n+8)
↓(4)からこれを引くと
a[n+2]-11a[n+1]+24a[n]=0

a[1]=2^8+9=256+9=265=5*53
だから
a[1]は5の倍数
ある自然数nに対してa[n]が5の倍数であると仮定すると
a[n]=5k
となる整数kがあるからこれを(3)に代入すると
a[n+1]=3*5k+5*2^(3n+5)
a[n+1]=5{3k+2^(3n+5)}
となって
a[n+1]も5の倍数だから
すべての自然数nに対してa[n]が5の倍数である

a[n]=n^3-6n^2+11n…(1.1)
a[n]={(n-6)n+11}n
↓nをn+1に置き換えると
a[n+1]={(n-5)(n+1)+11}(n+1)
a[n+1]=(n^2-4n+6)(n+1)
a[n+1]=n^3-3n^2+2n+6
↓これから(1.1)を引くと
a[n+1]-a[n]=3n^2-9n+6…(1.2)
a[n+1]-a[n]=3(n^2-3n+2)
a[n+1]-a[n]=3(n-2)(n-1)
↓nをn+1に置き換えると
a[n+2]-a[n+1]=3(n-1)n
a[n+2]-a[n+1]=3n^2-3n
↓これから(1.2)を引くと
a[n+2]-2a[n+1]+a[n]=6n-6…(1.3)
a[n+2]-2a[n+1]+a[n]=6(n-1)
↓nをn+1に置き換えると
a[n+3]-2a[n+2]+a[n+1]=6n
↓これから(1.3)を引くと
a[n+3]-3a[n+2]+3a[n+1]-a[n]=6…(1.4)
↓nをn+1に置き換えると
a[n+4]-3a[n+3]+3a[n+2]-a[n+1]=6
↓これから(1.4)を引くと
a[n+4]-4a[n+3]+6a[n+2]-4a[n+1]+a[n]=0

a[n]=2^(2n+1)+1…(2.1)
↓nをn+1に置き換えると
a[n+1]=2^{2(n+1)+1}+1
a[n+1]=4*2^(2n+1)+1…(2.2)
(2.1)の両辺に4をかけると
4a[n]=4*2^(2n+1)+4
↓(2.2)からこれを引くと
a[n+1]-4a[n]=-3…(2.3)
↓両辺に4a[n]を加えると
a[n+1]=4a[n]-3…(2.4)
(2.3)のnをn+1に置き換えると
a[n+2]-4a[n+1]=-3
↓これから(2.3)を引くと
a[n+2]-5a[n+1]+4a[n]=0

a[1]=2^3+1=9
は3の倍数
ある自然数nに対してa[n]が3の倍数と仮定すると
a[n]=3k
となる整数kがあるからこれを(2.4)に代入すると
a[n+1]=4*3k-3=3(4k-1)
だからa[n+1]も3の倍数だから
すべての自然数nに対して
a[n]=2^(2n+1)+1は3の倍数