漸化式の解法を教えて下さい

質問

a[n+2]+a[n]=0 　　　　a1=0 　　 a2=1

という漸化式の問題が解けなくて困っています。
特性方程式の解が虚数になることは分かったのですがそれ以降が全く進まない状況です。

分かる方居ましたら教えて頂けると嬉しいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

spring135

>特性方程式をご存じなのでまともに回答しましょう。

a[n+2]+a[n]=0

が

a[n+2]-(α+β)a[n+1]+αβa[n]=0 (1)

と書けたとします。

その条件は

α+β＝0, αβ=1

です。そのようなα、βは以下の方程式（特性方程式）の解

t^2-(α+β)t+αβ=0,すなわちt^2+1=0

として求められ

t=(α,β)=i,-i　　　　(2)

です。

(1)は

a[n+2]-αa[n+1]＝β(a[n+1]-αa[n]) (3)

と書けることを確認してください。これより

a[n+2]-αa[n+1]=β^n(a2-αa1) (4)

同様に

(1)は

a[n+2]-βa[n+1]＝α(a[n+1]-βa[n]) (5)

と書ける。これより

a[n+2]-βa[n+1]=α^n(a2-βa1)　　　(6)

β(4)-α(6)を作ってa[n+1]を消すと

(β-α)a[n+2]=β^(n+1)(a2-αa1)-α^(n+1)(a2-βa1)

a[n+2]={β^(n+1)(a2-αa1)-α^(n+1)(a2-βa1)}/(β-α)

よって

a[n]={β^(n-1)(a2-αa1)-α^(n-1)(a2-βa1)}/(β-α)　　　(7)

β=i,α=-i,a1=0,a2=1

を代入して

a[n]={i^(n-1)-(-i)^(n-1)}/2i

n=2m+1(奇数）のとき　a[n]=0

n=2m(偶数）のときa[n]=-(-1)^m

要するに

n=4mのときa[n]=-1

n=4m+2のときa[n]=1

お礼

非常に分かりやすい回答でした。
ありがとうございました。

回答No.1

noname2727

nが奇数の時

a[n+2]+a[n]=0 　　　　a1=0

から

a[n]=0

n=4k-2の時

a[n]=1

n=4kのとき

a[n]=-1

であることがa[n+2]+a[n]=0 　　から帰納的にわかります。

お礼

ありがとうございました。