ガンマ分布について

質問

統計学を勉強中です。ガンマ分布はなぜ何かが起こるまでの時間の分布を求められるのでしょうか？
二項分布＆ポアソン分布etcと何かが起こるまでの確率を求められますが、ガンマ分布と何が違うのでしょうか？

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

ガンマ分布は,確率密度関数が形状母数k>0,尺度母数θ>0を用いて
f(x)=[1/{Γ(k)θ^k}]x^(k-1)e^(-x/θ) ,(for(x>0))
で定義される分布
平均
E(X)=kθ
分散
V(X)=kθ^2

例えば
ある電子部品の寿命分布
を求める場合は,
実際のその電子部品の寿命の標本データ{X_k}_{k=1～N}を集めて
平均寿命
E(X)=(1/N)Σ_{k=1～N}X_k=kθ
と
寿命の分散
V(X)=E{X-E(X)}^2=(1/N)Σ_{k=1～N}{X_k-E(X)}^2=kθ^2
を求め(推定し)
尺度母数θ=V(X)/E(X)
形状母数k={E(X)}^2/V(X)
を求め(推定し)
f(x)=[1/{Γ(k)θ^k}]x^(k-1)e^(-x/θ) ,(for(x>0))
を求め(推定し)
X時間以下でその電子部品が寿命となる確率は
∫_{0～X}[1/{Γ(k)θ^k}]x^(k-1)e^(-x/θ)dx
と推定できる

p(0≦p≦1),自然数nに対して,自然数を値としてとる確率変数Xが
P[X=k]=(nCk)(p^k)(1-p)^(n-k) ,(for(k=0,1,2,…,n))
を満たす時,確率変数Xはn,pの2項分布に従うという
2項分布は結果が成功か失敗のいずれかであるn 回の独立な
試行を行ったときの成功数で表される離散確率分布である
2項分布の定義域は(k=0,1,2,…,n)の有限離散分布
Σ_{k=0～n}(nCk)(p^k)(1-p)^(n-k)=1

λ>0に対し,自然数を値にとる確率変数Xが
P(X=k)=(λ^k)e^(-λ)/k! ,(for(k=0,1,2,…))
を満たす時,確率変数Xはλのポアソン分布に従うという
P(X=k)は,
「所与の時間中に平均でλ 回発生する事象がちょうどk回(kは非負の整数)発生する確率」
に相当する。
ポアソン分布の定義域は(k=0,1,2,…)の無限離散分布
Σ_{k=0～∞}(λ^k)e^(-λ)/k!=1

ガンマ分布の定義域は(x>0)の連続分布
∫_{0～∞}[1/{Γ(k)θ^k}]x^(k-1)e^(-x/θ)dx=1