分布

質問

ポアソン分布はどんなものがあてはまりますか。
また、それはどうしてでしょうか。

正規分布、二項分布についてもお願いできればお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

単位時間あたりに一定の(比較的低い)発生回数で起こる事象が
一定期間内に起こる回数の確率分布が、ポアソン分布で表せます。

当てはまる例としては、一年間に馬に蹴られて死ぬ兵の人数とか、
一年間に起こる交通事故の数とか、一時間にかかってくる電話の数とか…

どうして、それが当てはまるのかには、理由はありません。
数学上、ポアソン分布というものを用意しておくと、
現実の観察の中に、よく当てはまるものがあるということ。
それは、現象論としての統計学であって、数学理論ではないからです。

回答No.3

he-goshite-

本に書いてあることの受け売りです。
どんなものが当てはまるか，という点についてです。どうしてか？はうまく説明できません。ご自分で原理（理論）からお考えください。

・正規分布：
長さや重量などの連続した値を「計量値」というが，正規分布は計量値の分布中もっともよくある分布で，その形状は，《よくご存じのあの形です。》分布関数は《よくご存じのあの数式です》。

※連続した値を取りうるある量について，人為的に（または自然に）ある特定の値を狙っ（てものを作っ）たとき，実際に出来上がったものの値を測定したときに得られる，値の分布
とでも考えるとよい。
※正規分布はよくある分布なので，各種の性質がよく把握されており，その関係を初心者でも利用しやすい。

１個，２個と数えることのできる値，言い換えると　０または正の整数のみをとる値，およびそれを比率で表した値を「計数値」という。

・二項分布：
一般に，不良率p'の工程から，大きさnの試料をとった場合，試料中にｘ個の不良品が存在する確率は
式《略》
で表される。
たとえば製品のうち１０％は不良品であるという工程での製品についてランダムに20個の試料をとったとき，その中にｘ個の不良品が含まれる確率は，
《表の形で分布を表示　→略》
この二項分布には次の性質がある。
１）分布が離散的である。
２）二項分布の平均値は，np'，標準偏差は　√（np'（1-p'））である。
３）p'＝0.5　のときは分布の形は平均値に関して左右対称であるが，p'≠0.5 のときは対称とならない。
４）ふつう　np'≧５ であって，p'≦0.5 のときには二項分布は大体正規分布として取り扱って差し支えないとされている。

・ポアソン分布：
二項分布で　np'＝ｍ を一定にしておいて n を無限大にすると確率が
《ポアソン分布の式》
で表されるポアソン分布となる。
１）この分布では平均値も分散もともに ｍ＝np'　である。
２）鋼板，織物などの連続体の一定単位内に平均 m個のキズがある場合，この鋼板，織物のうちからランダムに一定単位を抜き取ったとき，その中にキズが x個あらわれる確率はポアソン分布にしたがい　上の式 であらわされる。

※ たとえば，敵潜水艦が特定海域（の水面下）に単位面積当たり m隻潜んでいるとした場合，
この海域からランダムに一定単位の海水面を選んだとき，その中（の水面下）に潜水艦が x隻現れる（見つかる？）確率　など
をお考えください。

※説明の中の統計用語や生産用語，軍事用語などは説明を略しました。必要なら別にお調べください。

回答No.1

noname#208392

まずは、じゃ、二項分布から。
これは、サイコロ100回ふって20回1の出る数とかそういうのが当てはまる。
これは単純に確率を計算するれば導くことができる。
一回試してある事象が起こる確率をp(つまり起こらない確率は 1-p)として、これをn回繰り返して、その事象がx回起こる確率は添付の図の(1)のようになる。
それでこれが二項分布。

互いに独立におこる事象で、平均値があるということについてはポアソン分布にしたがう。
例えば、よくあげられる例が、雨粒の降ってくる数というもので、バケツを外に置いておいて、一分間にそのバケツに降ってくる雨粒の数はポアソン分布に従う。
だって、雨粒それぞれは独立に降ってくるはずだし(雨粒同士が相談したどこに落ちるか決めているわけではない)、ふってくる雨粒の数は、何個/(m^2・s) というように平均の数がだせそうでしょう？(降り始めとかそういう時は除く)。

これって、二項分布の話とちょっと似てるよね。
ある事象が一定時間におこる平均個数をmとして、その一定時間というのを、十分小さくn個に分割する。
十分小さく、というのは、その分割した時間内にその事象が二度起こらないくらい小さく、という意味。
その場合、その分割した短い時間の間に事象が起こる確率pはp=m/nとなる。
こういう風に考えれば、分割した短い時間の間に確率pの事象が起こるか、起こらないかだから、これは二項分布。
なので、二項分布の式に当てはめて、整理したのが式(2)

ここでn→無限大の極限を考える。式(3)、(4)、(5)の事実を考えると、結局は(6)のようになる。
これがポアソン分布。

一定の時間内に窓口に客が来る数、というのもやっぱりポアソン分布に従うと考えられるから、「待ちの行列」なんていうテーマと密接に関係がある分布です。
これって楽しいよね。銀行とかチケット売り場とかで並んでいる人の数というのが、統計的に予測できるんだから。

さて、正規分布ですが、一般には何だからよくわからないものは大概正規分布に従うとされています。
二項分布もポアソン分布も極限では二項分布に近づいていく。
だから一般に何でもかんでも正規分布に従うと仮定して計算しますが、これがどうして正規分布に従うかは本当のところはわからない。
そもそも本当に正規分布に従うかどうかも、実験してみないとわかりません。

ただ、測定値の平均値は必ず正規分布に従う。
例えば、あなたが学校の生徒を5人づつのグループに分けてグループごとの身長の平均値を計算すると、その身長の平均値は正規分布に近い分布になり。5人というのをもっと多くすれば、どんどん正規分布に近づいていく。

どうしてこうなるかという説明は、これは勘弁してね。
この話は中心極限定理といって、「中心極限定理」というタイトルの一冊の本が書けるくらい内容のある話なんですよ。