ポアソン分布について

質問

ポアソン分布についてですが、これは二項分布でｎを無限大にしたときの近似値と考えていいのですよね。正確な値は二項分布のほうだと思っていて間違いないでしょうか？

回答No.3

tancoro · ベストアンサー

次のようなモデルを考えてみます。
『1～kの範囲で整数を無作為に１つ抽出します。この時、取り出した値が1であれば当たり、それ以外の数であればはずれとします。』
１回の試行で当たりを引く確率pは・・・1/kとなりますよね。
さらに、この試行をn回行なった場合を考えてみます。この時、当たり回数の期待値は、npとなります。具体的に期待値が１となる場合をいくつか考えてみると・・・
(1) 1～6の範囲で、抽出回数を6回とした場合。6*(1/6)=1
(2) 1～100の範囲で、抽出回数を100回とした場合。100*(1/100)=1
(3) 1～1億の範囲で、抽出回数を1億回とした場合。1億*(1/１億)=1
全て、確率(当たりを１回引く確率)は異なりますが、(1)、(2)、(3)と徐々にあるところへの収束が観察されますよね。そこで、k->∞(但し、npは一定）として考えてみると・・・・
この時の確率分布がまさにポアソン分布となります。
参考になったでしょうか・・・

お礼

大変よくわかりました。期待値が変わらないってことですね。ありがとうございました。

回答No.2

kbannai

No.1です。「回答に対するお礼」を拝見させていただきました。申し訳ありませんが、ご質問をもう少し詳しく教えていただけませんか？

補足

平均npの捕らえ方をたぶん誤認識していたようです。“npの平均”でなく“平均であるnp”と言う意味ですよね。それなら理解できます。

回答No.1

kbannai

nを無限大にするだけでなく、確率pが非常に小さい場合で、平均np＝一定にして密度関数を導いたと思います。

２項分布に対しての便利な近似なのですが、試行の回数nが大きいときの近似なので、２項密度関数で正確な値を出すのは実際、大変だと思います。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。ここで、平均np＝一定ということは、完全確率の抽選を1000回やった場合、たとえばどこの回数をとっても同じ期待値になるということでしょうか？