このような関数は一意に決まる?
三角関数や指数関数が含まれると、整式で表されたものと違い、
f(x)=xsinx は f"(x)=-f(x)+2cosx
f(x)=e^x は f"(x)=f'(x)=f(x)
といったように、導関数や高次導関数にもとの関数がそのまま含まれたりすることがありますよね。
このような性質を利用して、例えば
f(x)=2cosx-f"(x)、f(0)=0,f'(x)=1 などと与えられたら、
f(x)=xsinxだな、というのは勘でわかると思うのですが、上のような式だけで本当に一意にf(x)が求まるのか、また、一意性が確かならそれをどういった言葉で示せばいいのか、混乱してしまいました。
どうかご教示願います。
(経緯)
微分方程式を解いていて、「これが関数と導関数の"積"でなく"和"で与えられたら解けるのか?」と思ったのが発端です。
上のような形を「解く」手段は高校数学までの範囲では与えられていないので、「勘」と「一意性の証明」で必要十分な解答にするしかないと思うのですが…
お礼
ありがとう