極座標変換と偏微分

質問

写真の問題の解き方を教えてください！

回答No.1

info33 · ベストアンサー

(1)
∂z/∂r=cosθ ∂z/∂x+sinθ ∂z/∂y,
∂2z/∂r2=cosθ (cosθ ∂2z/∂x2+sinθ ∂2z/∂x∂y)+sinθ (cosθ ∂2z/∂y∂x+sinθ ∂2z/∂y2)
=(cosθ)^2 ∂2z/∂x2 + 2sinθ cosθ ∂2z/∂x∂y + (sinθ)^2 ∂2z/∂y2 ... (Ans.1)

∂z/∂θ= -r sinθ ∂z/∂x+ r cosθ ∂z/∂y,
∂2z/∂θ2= -r cosθ ∂z/∂x - r sinθ ∂z/∂y - r sinθ ( -r sinθ ∂2z/∂x2 + r cosθ ∂2z/∂x∂y)
+ r cosθ (-r sinθ ∂2z/∂y∂x+r cosθ ∂2z/∂y2)
= -r cosθ ∂z/∂x - r sinθ ∂z/∂y +(r sinθ)^2 ∂2z/∂x2 -2r^2 sinθ cosθ ∂2z/∂x∂y
+(r cosθ)^2 ∂2z/∂y2 ... (Ans.2)