解析学の計算で行き詰まっています。
以下の解析学の問題なのですが、途中から積分の計算ができずに困っています。
(1)x^2+y^2+z^2≦a^2(a>0)のx^2+y^2≦ax の部分の体積を求めよ。
x^2+y^2≦ax
⇔(x-a/2)^2+y≦a^2/4 より、
x=rcosθ+a/2,y=rsinθとおくと、
D = {(r,θ);0≦r≦a/2,0≦θ≦2π}
J = rとなり、
また、-√(a^2-x^2-y^2)≦z≦√(a^2-x^2-y^2)であるから、
V=∫{_0}^{a/2}rdr∫{_0}{^2π}dθ∫{_-√(a^2-x^2-y^2){^√(a^2-x^2-y^2)dz
= =∫{_0}^{a/2}rdr∫{_0}{^2π}dθ∫√(a^2-(rcosθ+
a/2)^2-r^2*sin{^2}θ)dz
となるので、√部は,
√(3/4*a^3-arcosθ-r^2)となりますが、置換積分等の方法も試してみましたがこれを積分することができません。というか、この形は積分不可能なように思えるのですが、どうなんでしょうか？
(2)領域Dの重積分 ∫∫(x^2+y^2)/(x+y)^3dxdyを求める。D={(x,y);1≦x+y≦3,x≧0,y≧0}
x+y=u,x-y=vとおくと、
x=(u+v)/2, y=(u-v)/2 E={(u,v);1≦u≦3,u≧v}
J=-1/2 より、
∫∫(u^2+v^2)/4u^3dudv
となるのですが、領域Eにおいてu≧vでは領域が広すぎて、どういった処理をすればいいのか分かりません。（u≧v≧aといった形なら簡単に処理できるのですが・・・)
以上宜しければ回答をお願いします。
