座標変換を用いて

質問

経済系の数学をやっているのですが、いくら考えてもこの問題だけ言ってる意味がぜんぜんわかりません。お願いいたします。
座標変換を用いて、一般の
二次関数y=ax2＋bx＋c上の点における接線の傾きが、x=pならば、2ap＋bとなることを証明せよ。
ヒントx=pは、X=p＋b/2aになる。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

もしかすると、この問題の前に
「二次関数y=ax^2上の点における接線の傾きは、x=pならば、2apとなる」という命題が与えられていませんか？
その場合は、X=x+b/(2a)、Y=y-(c/a)+(b/(2a))^2 と座標変換（平行移動ですから、この座標変換で傾きは変わりません）すると、
y=ax^2＋bx＋c ⇔ Y=aX^2
ですから、X=p + b/(2a)での接線の傾きは2aXとなります。
すなわち、x=p での接線の傾きは 2aX=2ap+bとなります。

補足

二次関数y=ax2＋bx＋cのグラフ
座標変換X=x＋b/2a,Y=ｙ＋(b2-4ac)/4a
を使って、原点(0,0)を
新しい原点(-b/2a,-(b2-4ac)/4a)に移した
XY座標で、Y=aX2のグラフを書けばよい。
これはもとの座標でのy=ax2のグラフを単に平行移動させただけである。
というのが前に書いてあたのですが、、
「二次関数y=ax^2上の点における接線の傾きは、x=pならば、2apとなる」という命題、、このようなことは書いてありませんでした。お願いいたします。

回答No.3

rinri503

問題の趣旨がいまいち理解できないのですが文系の教授の数学の意味が不明なことがよくありますので、こういう
ことではないでしょうか
　　　ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃを

　　　ｙ＝ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２＋ｔとする・・・(1)
　　ｘ＝ｐのときの座標をＸとすると
　　　Ｘ＝ｐ＋ｂ／２ａ
　　　Ｙ＝ａＸ＾２＋ｍ　とすると
　　　Ｙ‘＝２ａＸ
　　　　　　Ｘ＝ｐ＋ｂ／２ａ　だから
　　　　Ｙ‘＝２ａ（ｐ＋ｂ／２ａ）　
　　　　　∴　Ｙ‘＝２ａｐ＋ｂ　
　このようにせよという意味ではないでしょうか
　これでないとヒントの意味がいまいち

回答No.2

kony0

問題（日本語）の言っている意味がわからない、というのであれば、

(1)二次関数上に点Pがあり、そのx座標がpである。このとき点Pの座標を求めよ。
(2)点Pにおける接線の傾きを求めよ。
という問題であればどうでしょうか？
ちなみに(2)を解くために(1)の問題は必要ないのですが。

もしくは、「二次関数y=ax2＋bx＋c上で、そのx座標がpである点における接線の傾きを求めよ。」という日本語であればどうでしょうか？

なんとなく、この問題の日本語がちょっとうまくないような気もしますので、問題文を言い換えてみました。

お礼

ありがとうございます。そういいかえればわかるのですが、経済系の数学でして、、。座標変換にポイントがあるみたいです。