※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:数A平面図形の証明問題)
三角形ABCの証明問題の解答についての質問
このQ&Aのポイント
三角形ABCの各辺の外側に正三角形PBC,QCA,RABを作り、BQとCRの交点をOとする。[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°、[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる、[3]AP、BQ,CRは1点で交わることを示せ。
問題の解答では、4点A,R,B,Oが同一円周上であり、4点A,Q,C,Oも同一円周上であることが述べられています。また、4点B,P,O,Cも同一円周上であることも述べられています。そして、[3]の解答では、AP,CRの交点をO´とし、O´が直線CRと三角形QACの外接円との交点であること、つまりO´がOと一致することが説明されています。
質問者は解答の★以降の部分が理解できないと述べており、同様の考察がどの部分なのか、更にわかりやすい解説を求めています。
【問題】
三角形ABCの各辺の外側に、正三角形PBC,QCA,RABをつくり、BQ,CRの交点をOとする
次の各項が成り立つことを示せ
[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°
[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる
[3]AP、BQ,CRは1点で交わる
この[3]の問題の解答についての質問です
【解答】
ちなみに[2]の解答で
「4点A,R,B,Oは同一円周上」・・・(1)
「4点A,Q,C,Oも同一円周上」・・・(2)
「4点B.P,O,Cも同一円周上」・・・(3)とあり、
[3]の解答
↓
上の(1)、(2)、(3)より、∠P,∠Q、∠Rそれぞれの補角として
∠BOC=∠COA=∠AOB=120°・・・(4)
★いま、AP,CRの交点をO´とすると、同様の考察で
O´は「CR乗で∠CO´A=120°を満たす点」
すなわち「直線CRと三角形QACの外接円との交点」
となるから、O´はOと一致する
結局
AP,BQ,CRは1点Oで交わる
この★以降の部分がよくわかりません…
”同様の考察”もどの部分なのか…
もう少しわかりやすく解説していただけませんか
おねがいします(> <)
お礼
あぁ、なるほど! やっと分かりました…; ありがとうございました☆