確率分布の無記憶性についてお尋ねします。

質問

確率分布の無記憶性という言葉があり、以下のように定義されるようです。

「成功か失敗のどちらかしかない独立な試行」を繰り返す場合に、次の両者の確率が一致することを意味する。90回失敗し続けた人が、次の10回の間で初めて成功する確率。
まだ1回もやっていない人が、10回の間で初めて成功する確率。

そして、ある確率分布関数には無記憶性がある・なしという言い方をするようです。
しかし、独立な試行だったら、確率分布の関数形とは無関係に、独立という条件だけで両者は一致しそうな気がするのですが。独立か独立ではないかというのは確率分布とは関係ないですね。試行のやり方のことなのだからです。例えばサイコロでいうと、目を1回出して、その次に目を出す前に十分振っておくわけで、それが十分かどうかというようなことではないかと思います。

このあたりをどのように考えるのか教えて頂きたいのですが。
よろしくお願いします。

回答No.4

ddtddtddt

#2です。

　確率分布は現在の瞬間に起こり得る、ある事象の期待値を計算するための道具だと思います。なので事象の起こり方が過去に影響されようと、確率分布は現時点でのパラメータで書かれますので、#3さんの仰るように、事象の発生確率が過去に影響されれば、確率分布の形も当然変わる気がします。

　ただし例えば、1回前の過去だけに影響されるマルコフ連鎖はポアソン分布に従うマルコフ過程、2回前までの過去に影響される△△連鎖は〇〇分布に従う△△過程とかいう言い方は、ありえると思います。マルコフ連鎖の講義を取ったのはかなり前なので、△△連鎖と〇〇分布の記憶は定かじゃないですけど(^^;)。

　ところで過去が現在に、現在が未来に影響する方が普通ですよね？。なので常に完全ランダムなホワイトノイズなんかは、逆に貴重で使い途が出てくる訳です(^^)。

回答No.3

f272

> しかし、独立な試行だったら、確率分布の関数形とは無関係に、独立という条件だけで両者は一致しそうな気がする

試行の結果として成功か失敗かのどちらかが生じその確率は試行の間変化しない
それぞれの試行が独立であり他の試行に影響を与えない
ということを前提とすると，無記憶性があるならば，その確率分布は幾何分布となりますし，逆に幾何分布であれば無記憶性があります。つまり確率分布の関数形とは無関係ということはありません。
なお，連続型の確率変数を考えるなら無記憶性をもつ確率分布は指数分布に限ることも示すことができます。

お礼

回答ありがとうございます。私は自分が無記憶性の意味を取り違えているだろうなと自覚的に思っています。例えば正規分布に従う乱数発生器があり、その試行（乱数発生器による乱数の生成）が独立ならば、1回目にどんな結果が出ても2回目には何も影響しない（それが独立だと思いますが）わけですね。つまり2回目の試行のときに1回目が何だったか”記憶していない”、すなわち無記憶という風に考えてしまっています。つまりそれだったら何分布であろうとも独立の試行はすべて無記憶となってしまいます。そういう意味ではない、ということになると思います。独立と無記憶はとりあえず無関係の概念だと思いますが、どのように考えるのでしょうか。

回答No.2

ddtddtddt

確率分布の無記憶性という話は、わかりにくいですよね。

　無記憶だから過去に何をやってたとしても、例えばサイコロをふった瞬間のある目の出る確率は、その瞬間で決まる（1/6）という事です。

　これが記憶性で過去に例えば1の目が2回出てたら、その瞬間の1の目が出る確率は1/6×1/2＝1/12なるとかが、記憶性の確率分布です。こういうのは俗にイカサマと言われますが(^^)、自然現象や社会現象の中には完全な因果律には従わず確率的ではあるんだけど、過去の履歴に現在の確率分布が影響されるという事例は確かにあります。

　無記憶性の確率分布は、時間経過に関わりなく常に同じ確率分布なので（過去の経緯に影響されないので）、定常確率過程とも言われます。

　非定常確率過程の最も単純な例が、マルコフ連鎖です。マルコフ連鎖では、前回の結果しかおぼえていません。

　いちおう#1さんの回答への補足のつもりです。

お礼

回答ありがとうございます。過去が未来（あるいは現在）に影響するか？ということでしょうか。その場合、確率分布の関数形と関係があるのでしょうか。ある数学の問題（択一式）でこういうのがありました。以下の確率分布で無記憶性を有するものはどれか？　1.正規分布、2.ポアソン分布, 3....
というものです。マルコフ過程は前の現象に依存して今の状況が決まるという形式になっていて、ポアソン分布に従うマルコフ過程とか言うのではないでしょうか。分布関数形とマルコフ（記憶）、非マルコフ（無記憶）とは無関係なのではないかと思いますが。どうでしょうか。

回答No.1

myuki1232

> 「成功か失敗のどちらかしかない独立な試行」を繰り返す場合に、次の両者の確率が一致することを意味する。90回失敗し続けた人が、次の10回の間で初めて成功する確率。
> まだ1回もやっていない人が、10回の間で初めて成功する確率。

文章を誤読されてませんか？
これは定義ではなく、説明のために言い換えをしているだけです。
つまり、独立性と無記憶性は別だと言っているのではなく、同じだと言っているのです。

お礼

回答ありがとうございます。無記憶性と独立性が同じとしたら、ある確率分布が関数形として無記憶性があるかどうかという問題は成立しないように思います。
以下の確率分布で無記憶性を有するものはどれか？
１．正規分布、２．二項分布、３．…。
というものです。それぞれの関数に従う現象とそれぞれが独立であるかどうかということは全く無関係だからなのですが。