統計・確率分布

質問

サイコロをn回ふった時に、ある目xが出た目の中で最小となる確率は
(1-(x-1)/6)^n - (1-x/6)^n
と表せると思います。

この「サイコロをn回ふって最小の目xを求める」ということをN回繰り返したときxの平均値<x>の取り得る分布が知りたいのですがどなたかわかりますでしょうか？
N回繰り返す事象の出力xが一様分布のように単純なものであれば平均値<x>の分布もそう難しくないと思うのですが、上記のような式で表される一様でない分布の場合はどうなるのでしょうか？

回答No.1

onakyuu · ベストアンサー

モーメント母関数もしくは特性関数を使うとよいで
しょう。これらについての詳細は確率のテキストな
どを見てください。

具体的には
分布がP(x)の確率変数のＮ個の和の分布をPN(x)
とすると
P(x)の母関数Q(t)は
Σexp(-xt)P(x)
で与えられPN(X)の母関数はそのＮ乗
Q(t)^N
となり、これからPN(x)を計算できると思います。

計算はめんどくさそうですが、Ｎが大きければ
中心極限定理によってほとんど正規分布となる
ことでしょう。

補足

ご回答ありがとうございました。

まだ理解が不十分な点もあるのですが解を得るまでの
道筋はようやく理解できました。

ところで母関数Q(t)を作る際に、
ΣP(x)*t^x
とするのではなくexp(-xt)を用いたのはなぜですか？

PN(x)の母関数からPN(x)を計算する方法が
まだ全くわかっていないのでなんとも言えないのですが
この計算を楽にするためにexp(-xt)を用いた、
と考えてよろしいのでしょうか？

何にせよ、母関数などの知識がだいぶ不足しているようなので
もう一度統計の教科書を読み直してみます。