確率の問題

質問

１個のサイコロを投げる試行を繰り返す。
２以下の目が出ればＡの勝ち。
３以上の目が出ればＢの勝ちとし
どちらかが３連勝したら試行を終了します。

(1)この試行が３回で終了する確率
(2) この試行が４回で終了する確率
(3) この試行が６回で終了する確率

上記をわかりやすく教えて頂けますか？

回答No.2

siki0275 · ベストアンサー

まず、AとBがそれぞれ勝つ確率を求めます。
Aが勝つ場合は2以下の目が出る場合ですので、2/6 = 1/3
Bが勝つ場合は3以上の目が出る場合ですので、4/6 = 2/3

そして問題のそれぞれの回数で、どのように試行が進めばその回数で試行が終了するか考えていきます。
（１）の場合であればどちらかが3連勝（完勝）する場合ですので
Aが３連勝する確率とBが3連勝する確率をそれぞれ求めます。
Aが勝つ確率
(1/3)^3 = 1/27
Bが勝つ確率
(2/3)^3 = 8/27
そして条件からどちらかが勝てばよいので、それぞれの確率を足した結果が答えとなります。

（２）でも同様な考えをしていきます。
Aが最終的に勝つ場合は、始めにBが買ってその後Aが3連勝する場合のみです。
(2/3)(1/3)^3 = 2/81
Bも同様に始めにAが勝ちその後Aが3連勝する場合のみなのです。
(1/3)(2/3)^3 = 8/81
（１）の問題と同様にそれぞれの確率を足した結果が答えとなります。

（３）の場合は少しパターンを考える必要があります。
始め3回の試行で勝敗がつかず、4回目の試行からどちらかが3連勝するという場合が考えられます。
4回目試行から3連勝が始まるので、3回目の試行も最終的に勝利する相手が勝つ場合が来るので、それぞれの場合で限定できます。
分かりやすく、試行の流れを簡略化して書きます（A勝利＝A、B勝利＝B）
Aが勝つ試行の流れとそれぞれの確率は
A,A,B,A,A,A 〔(2/3)(1/3)^5 = 2/729〕
A,B,B,A,A,A 〔(2/3)^2・(1/3)^4 = 4/729〕
B,A,B,A,A,A 〔(2/3)^2・(1/3)^4 = 4/729〕
この三通り
それぞれの確率を足すとAが6回目の試行で勝つ確率が出ます。
Bが勝つ試行の流れとそれぞれの確率は
B,B,A,B,B,B 〔(1/3)・(2/3)^5 = 32/729〕
A,B,A,B,B,B 〔(1/3)^2・(2/3)^4 = 16/729〕
B,A,A,B,B,B 〔(1/3)^2・(2/3)^4 = 16/729〕
の三通り
こちらも同様に足したらAが6回目の試行で勝つ確率が出ます。
最後にAとBが勝つ確率を足したら最終的な答えとなります。

分数の足し算をすると約分ができる場合が出てくるので、最終的な答えは約分をした結果を出しましょう。
それぞれの条件にあった試行の流れを考え、思考回数や考える場合（この問題だと"勝つ"か"負ける"かの２つの場合）が少ない時は、樹系図をかいてみるといいかもしれません。
長文失礼しました。理解いただけたら幸いです。

お礼

アドバイスまで頂き
ありがとうございます！
わかりやすくて
大変助かりました(^ー^*)

回答No.1

momonga1215

(1)
まずAが3連勝する確率
(1/3)^2=1/27
つぎにBが3連勝する確率
(2/3)^3=8/27
よって３回で終了する確率は9/27で1/3となります。
(2)
AorBが2,3,4戦で連勝の2通り
つまりABBBorBAAA
これを計算すると
ABBBは1/3*(2/3)^3=8/81
BAAAは2/3:(1/3)^3=2/81
よって４回で終了する確率は10/81になります。
(3)
6回で終了するパターンは
AABAAA,ABBAAA,BABAAA
BBABBB,BAABBB,ABABBBの6パターンです
おのおの確率をだしていきます
1 AABAAAは (1/3)^5*2/3=2/729
2 ABBAAAは (1/3)^4*(2/3)^2=4/729
3 BABAAAは　おなじく4/729
4 BBABBBは　2^5/729=32/729
5 BAABBBは　2^4/729=16/729
6 ABABBBは　おなじく16/729
答えはすべて足し合わせて
74/729が答えです。

お礼

他の質問にもお答え頂き
ありがとうございます！
大変助かりました(^ー^*)