おかしい。

質問

オイラーの公式
e＾iθ＝cosθ＋isinθ
θ＝２πと置く
すると
e＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝１となる。
両辺を√を取る。
よって
√（e＾i２π）＝√１
よって
e＾（i２π）/２
e＾（iπ）＝√１＝１・・・・・（A)

一方で
θ＝πと置く
　e＾（iπ）＝cos（π）＋isin（π）＝－１・・・・・（B)
よって
e＾（iπ）＝－１・・・・・・（B)
　（A)＝（B)
つまり
　　１＝－１
なんだかおかしい？

回答No.8

178-tall

>√（e＾i２π）＝√１
… は OK そうですが、続く

>e＾（i２π/2）　　← (おそらくこれ、らしい)
>= e＾（iπ）＝√１＝１　　　…（A)
… は、右辺が「眉唾もの」。

それを 1 の「主平方根」に限定できるか否かは要吟味、かと…。

補足

√（－１）（－１）＝－１は正しいのですか？

回答No.7

178-tall

>√ は「主平方根 (principal square root) 」らしい …

何やら怪しげな表現ですが…。

たとえば 1 の「平方根」とは、
　自乗すると 1 になる数 = 2 次方程式の解セット {+1, -1} のうちの「非負」値 = +1
を指し、数学屋さんはそれを「主平方根」と呼んでいる。

単なる「2 次方程式の解」の {+1, -1} なるセットからは、+1 = -1 という推論を導くことはできませんネ。

回答No.6

leo-ultra

#3です。
> 案内のURL読みました。
> しかし、疑問点が出てきました。
> √(a+bi)=＋-（　省略　　　　　　）
> が公式として出てきます。しかし、右辺の”＋－”は必要ないのではと思っています。

理系の大学だと複素関数論というものを勉強します。その最初の方で複素対数関数（Logの複素版）を習います。
以下のURLのサイトに書いてありますが、虚部が多価関数になってしまうのです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%AF%BE%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0

複素数は実部＋虚部以外にも、大きさと角度でも表せます。角度は360度を法にして、同じ角度に360度の整数倍したものを足しても変わりません。要は主値をどうとるかです。

大学では複素ルート関数は習いませんでしたが、同じようなことが起こっているのかもしれません。

178-tallさんがしきりに、「主平方根 (principal square root)」と書いて、「主値Principal Value」を強調されている
ような気がするのはそのためでしたか。

要するに、定義次第ということでしょうか。

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%AF%BE%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0

補足

自分でもよくわかってないので。すみません。
もすこし、自分で煮詰めてみます。
URLの紹介ありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.5

178-tall

参照URL
　　↓

参考URL：

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root#Principal_square_root_of_a_complex_number

補足

URLご案内ありがとう。
読むようにします。

回答No.4

178-tall

√ は「主平方根 (principal square root) 」らしいので、
たとえば、参考 URL
　　　　↓
の Algebraic formula

　√z = √{ |z|+Re(z) } /2 ± i√{ |z|-Re(z) }/2

などを使えば、迷わずに済みそう。

参考URL：

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root#Algebraic_formula

補足

URLご案内ありがとうございます。
頑張ります。まだまだ不勉強なので。

回答No.3

leo-ultra

たぶん中学校で、
「２乗して１になる値」を平方根と呼び、平方根のうち「正」のものを√Xと表すそうです。
ルートと平方根は同一なものではありません。
と習ったので、Chieさんの回答は混乱されるかもしれません。

矛盾がでてきたのは、質問者様がルートの実数での定義をそのまま複素数に使ってしまったためです。

詳しくは、以下を読んでください。
https://math-jp.net/2017/03/20/square-root-of-complex-number/

補足

こんにちは。
案内のURL読みました。
しかし、疑問点が出てきました。
√(a+bi)=＋-（　省略　　　　　　）
が公式として出てきます。しかし、右辺の”＋－”は必要ないのではと思っています。左辺が”＋√(a+bi)”の時、右辺は”＝＋（　省略　　　　　　）”だし、
-√(a+bi)＝-（　省略　　　　　　）なのだから。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

追記。

「√(a^2)＝√(b^2)」が成り立つ時、「|a|＝|b|」は成り立ちますが「a＝b」は成り立ちません。

√（e＾i２π）＝√１
までは良いですが、両辺の√を外すと
|（e＾i２π）|＝|１|
になってしまうのです。

同様に
√１＝１
も間違いで
√１＝|１|
にしなければなりません。

お礼

オイラーの公式
e＾iθ＝cosθ＋isinθ
θ＝２πと置く
すると
e＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝１となる。
------------------------------------------
上記に於ける誤りはe＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝”１”としたことです。
この”１”が誤りであることがわかると思います。
それでは正解はなんでしょうか？
e＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝”(-1)*(-1)”が正解です。
”(-1)*(-1)”の”１”であることをお忘れなき用。"(+1)*(+1)”でなく。

補足

√（e＾i２π）＝√１
よって
e＾iπ＝√１
　　　＝√1*１　　or　　√[(-1)*(-1)]
　　　＝＋１　　or　（－１）

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞√１＝１

本当にそうですか？

「√１」とは「２乗して１になる値」です。

「－１」を２乗すると、幾つになるでしょう？

お礼

補足

√（e＾i２π）＝√１
よって
e＾iπ＝√１
　　　＝√1*１　　or　　√[(-1)*(-1)]
　　　＝＋１　　or　（－１）
------------------------------------------
以上において√[(-1)*(-1)]の置き方は無理がない。
　i＝√-1は一般的だ。
故に
√[(-1)*(-1)]＝i*i＝－１

補足

＞「√１」とは「２乗して１になる値」です。
√１＝√（1^2）＝√（1*１）＝１
です。
＞「－１」を２乗すると、幾つになるでしょう？
　－１*－１＝＋１
です。