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おかしい。
オイラーの公式 e＾iθ＝cosθ＋isinθ θ＝２πと置く すると e＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝１となる。 両辺を√を取る。 よって √（e＾i２π）＝√１ よって e＾（i２π）/２ e＾（iπ）＝√１＝１・・・・・（A) 一方で θ＝πと置く e＾（iπ）＝cos（π）＋isin（π）＝－１・・・・・（B) よって e＾（iπ）＝－１・・・・・・（B) （A)＝（B) つまり １＝－１ なんだかおかしい？
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- 178-tall
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>√（e＾i２π）＝√１ … は OK そうですが、続く >e＾（i２π/2） ← (おそらくこれ、らしい) >= e＾（iπ）＝√１＝１ …（A) … は、右辺が「眉唾もの」。 それを 1 の「主平方根」に限定できるか否かは要吟味、かと…。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>√ は「主平方根 (principal square root) 」らしい … 何やら怪しげな表現ですが…。 たとえば 1 の「平方根」とは、 自乗すると 1 になる数 = 2 次方程式の解セット {+1, -1} のうちの「非負」値 = +1 を指し、数学屋さんはそれを「主平方根」と呼んでいる。 単なる「2 次方程式の解」の {+1, -1} なるセットからは、+1 = -1 という推論を導くことはできませんネ。
- leo-ultra
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#3です。 > 案内のURL読みました。 > しかし、疑問点が出てきました。 > √(a+bi)=＋-（ 省略 ） > が公式として出てきます。しかし、右辺の”＋－”は必要ないのではと思っています。 理系の大学だと複素関数論というものを勉強します。その最初の方で複素対数関数（Logの複素版）を習います。 以下のURLのサイトに書いてありますが、虚部が多価関数になってしまうのです。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%AF%BE%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 複素数は実部＋虚部以外にも、大きさと角度でも表せます。角度は360度を法にして、同じ角度に360度の整数倍したものを足しても変わりません。要は主値をどうとるかです。 大学では複素ルート関数は習いませんでしたが、同じようなことが起こっているのかもしれません。 178-tallさんがしきりに、「主平方根 (principal square root)」と書いて、「主値Principal Value」を強調されている ような気がするのはそのためでしたか。 要するに、定義次第ということでしょうか。
補足
自分でもよくわかってないので。すみません。 もすこし、自分で煮詰めてみます。 URLの紹介ありがとうございました。大変参考になりました。
- 178-tall
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参照URL ↓
補足
URLご案内ありがとう。 読むようにします。
- 178-tall
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√ は「主平方根 (principal square root) 」らしいので、 たとえば、参考 URL ↓ の Algebraic formula √z = √{ |z|+Re(z) } /2 ± i√{ |z|-Re(z) }/2 などを使えば、迷わずに済みそう。
補足
URLご案内ありがとうございます。 頑張ります。まだまだ不勉強なので。
- leo-ultra
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たぶん中学校で、 「２乗して１になる値」を平方根と呼び、平方根のうち「正」のものを√Xと表すそうです。 ルートと平方根は同一なものではありません。 と習ったので、Chieさんの回答は混乱されるかもしれません。 矛盾がでてきたのは、質問者様がルートの実数での定義をそのまま複素数に使ってしまったためです。 詳しくは、以下を読んでください。 https://math-jp.net/2017/03/20/square-root-of-complex-number/
補足
こんにちは。 案内のURL読みました。 しかし、疑問点が出てきました。 √(a+bi)=＋-（ 省略 ） が公式として出てきます。しかし、右辺の”＋－”は必要ないのではと思っています。左辺が”＋√(a+bi)”の時、右辺は”＝＋（ 省略 ）”だし、 -√(a+bi)＝-（ 省略 ）なのだから。
- chie65536（@chie65535）
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追記。 「√(a^2)＝√(b^2)」が成り立つ時、「|a|＝|b|」は成り立ちますが「a＝b」は成り立ちません。 √（e＾i２π）＝√１ までは良いですが、両辺の√を外すと |（e＾i２π）|＝|１| になってしまうのです。 同様に √１＝１ も間違いで √１＝|１| にしなければなりません。
お礼
オイラーの公式 e＾iθ＝cosθ＋isinθ θ＝２πと置く すると e＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝１となる。 ------------------------------------------ 上記に於ける誤りはe＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝”１”としたことです。 この”１”が誤りであることがわかると思います。 それでは正解はなんでしょうか？ e＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝”(-1)*(-1)”が正解です。 ”(-1)*(-1)”の”１”であることをお忘れなき用。"(+1)*(+1)”でなく。
補足
√（e＾i２π）＝√１ よって e＾iπ＝√１ ＝√1*１ or √[(-1)*(-1)] ＝＋１ or （－１）
- chie65536（@chie65535）
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＞√１＝１ 本当にそうですか？ 「√１」とは「２乗して１になる値」です。 「－１」を２乗すると、幾つになるでしょう？
お礼
補足 √（e＾i２π）＝√１ よって e＾iπ＝√１ ＝√1*１ or √[(-1)*(-1)] ＝＋１ or （－１） ------------------------------------------ 以上において√[(-1)*(-1)]の置き方は無理がない。 i＝√-1は一般的だ。 故に √[(-1)*(-1)]＝i*i＝－１
補足
＞「√１」とは「２乗して１になる値」です。 √１＝√（1^2）＝√（1*１）＝１ です。 ＞「－１」を２乗すると、幾つになるでしょう？ －１*－１＝＋１ です。
補足
√（－１）（－１）＝－１は正しいのですか？