間違い？

質問

オイラーの公式
e＾iθ＝cosθ＋isinθ
θ＝２πと置く
すると
e＾i2π＝cos（2π）＋isin（２π）＝１となる。
両辺を√を取る。
よって
√（e＾i２π）＝√１
よって
e＾（i２π）/２
e＾（iπ）＝√１＝１・・・・・（A)

一方で
　e＾（iπ）＝cos（π）＋isin（π）＝－１・・・・・（B)
よって
e＾（iπ）＝－１・・・・・・（B)
　（A)＝（B)
つまり
　　１＝－１
どこが間違いでしょうか？

回答No.1

noname#232123

e^(2pi*i)=1+0*i=1 は正しいのですが、
√{e^(2pi*i)}=√[e^{(2pi*i+2npi*i)}]=e^{(n+1)pi*i}=±1.
です。
--------------
※ たとえば、(2+i)^2=3+4i で、√(3+4i)=±(2+i). です。
実数では、3^2=9 で、もちろん √9=+3. です。

お礼

本当は

１----->(-1)*(-1)
なのを
１----->(+1)*(+1)
としたことが誤りの原因です。

補足

＞e^(2π*i)=1+0*i=1 は正しいのですが、
いいえ、正しくありません。
e＾(2π*i)
＝e＾(π*i)*e＾(π*i)
＝（－１）*（－１）です。
すなわち
e＾(π*i)＝（－１）
2π＞＝R_1リーマン面＞＝０で議論する必要がある。
＞√{e^(2π*i)}=√[e^{(2π*i+2nπ*i)}]=e^{(n+1)π*i}=±1.
　したがってθ＝2πi＋２ｎπiは不要。
＞です。
--------------