(1)x=0.9 x=0.99 x=0.999…

質問

(1)x=0.9 x=0.99 x=0.999…
と1に限りなく近づくと

x=0.9999…となったとき

0.9999…≒1
となる

ということですか？
(2)1に限りなく近づくと
同じになるということが極限ですか？
(3)そしてxは1にならないのですか？

(4)でも
xの値が2つ、3つあって変わってますが
どういうことでしょうか？

(5)xの値が最初にx=0.999…と決まっていて
両辺に10をかけて計算するとx=1となるのは
0.999…≒1となるからですか？

(6)何故
x = 0.999... を考えてみましょう。

x = 0.999... ー(1)
10x = 9.999... ー(2)

(2)-(1)より
9x = 9,
x = 1
という操作をするのでしょう？
そして

(1)では x = 0.999...
しかし計算で求まった解は x = 1
矛盾しているように思えるでしょうか？

しかし数学ではこれらを同一視しても問題ないとして、この考え方を極限といいます(極めて限りなくある値に近づくから)。

という矛盾とありますがこのことについて
詳しく教えてください。

(7)x = 0.999... ー(1)
10x = 9.999... ー(2)

(2)-(1)より
9x = 9,

何故この操作をするのですか？

回答No.3

mitoneko

まず（６）（７）の何故から始めます。
　この証明は正当です。（実は、無限小数に対して、各桁ごとに足し算・引き算をすることが正当か？という証明が必要ですが、これは、正当な操作であると証明されています。）
　この証明から、0.9999.....=1である。となります。
　0.9999…≒1 や0.9999... < 1　とか、0.999.... ≠1 は、誤りです。
　別の言い方をすると、1という量を表す表記法には、1と0.999....というふたつの表記法があります。とも言えます。

　ここで、(1)に戻り、この結論は、間違っているとなります。
　とすると・・・はい。厳密には、（２）も誤りです。
　今回の場合は、収束した結果、そのものになります。でも、あくまで、近づくだけで、永遠に届かない場合もあります。（大抵は特異点がらみです。）
　極端な表記としては、lim[x→1](x)なんて式を作れば、この結果は、厳密に1になりますよね。
　従って、(3)も間違いとなります。

　(4)と(5)は、1という量を表記する書き方には、1と0.999...というふたつの書き方がある。と言った具合に、表現方法が違うだけととらえるべきです。
　例えば、1でも一でも、壱でも、Iとかiでも、みんな同じ大きさの数ですよね。リンゴを一個書いて1と読ませるなんてやっても量は同じです。
　0.999....も実は同じ事なんです。だから、あるところでx=1と書いて、別のところで、x=0.999...と置き換えても、なんら問題は無いと言うことになります。（または、問題は無いと証明できました。でも良いです。）

　極限や、抽象的な議論では、時に、直感を狂わせる事例が結構出てきます。∞がらみは、まさにその入り口ですねぇ。

回答No.2

Nouble

0.999…=1
とは、

共に、
相反し、並び立つ
一方のみを、

作為的に、示しただけですね。

最終けたのみ、1な
何処まで、行っても
0の続く値、

微分等の、基本概念たる
0以外の、0以上の
最小値、

此が、
其の条件に、、反し
0と、等しくなります、

詰まり、
0幅で、別ける事に
なるでしょう。

分母が、0とは
数学的に
とても、辛い事ですね、

又、定義から
0は、幾ら重ねても
0のまま、

故に、
0以外の、0以上の
最小値が
0ならば、

幾ら並べても
幅は、0のまま
積分不能です、

はぃ、
数学に、反します。

此の様に、
一方だけを、恣意的に
示すものですよね？

謂わば、
解らないものを、煙に巻く
小手先の、お遊びだ、

と、思いますよ。

回答No.1

nihonsumire

質問が２つあるように思われます。一つは1=0.9999…
これについては、小数点以下の9が無限に続くというところがミソと回答したYAHOO知恵袋（参１）。あるいは、DIGITAL GAITEというサイト(参２)の1と0.9999…が等しくないと考えるのは実数に対する誤解という回答。あるいは、独今論者のカップ麺というサイトでは、「0.999…」が「1未満の数のうちでもっとも大きな数」なのだとしたら、となりあう二つの実数が取り出せることになってしまう（参３）という回答。どれかで分かりやすい説明で理解されるといいかもしれません。
　もうひとつは、循環小数を分数で表わす計算方法についてです。これは、PC検索で調べると分かります。
参１）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1172591836
参2）
https://digitalgatez.net/archives/3228
参３）
http://sets.cocolog-nifty.com/blog/2011/03/09991-c8c4.html