環Rの任意の元xが

質問

環Rの任意の元xが

x^100 = x

を満たすとき，Rは乗法可換でしょうか？

2x=0
(x^2 + x)^k = x^(2^k + 1) + x^(2^k)

であることは分かるのですが任意の元xが冪等であることが示せません.

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

Jacobsonの定理の証明は例えば
https://cms.math.ca/openaccess/cmb/v19/cmb1976v19.0059-0061.pdf
にありますが、ざっと読んでみると、背景にはWedderburnの小定理（有限斜体は実は体）があるように見えます。

お礼

ありがとうございます.
早速熟読します.
n=4,6辺りは分かったんですが，大きくなるとどうなるのか…とふと思い立ったんですがなかなかうまいこと行かなくて悶々としていました.

回答No.1

tmpname

一般に、環Rの任意の要素xについて、 x^(n(x)) = x, n(x) > 1となるn(x)が存在する場合、（n(x)はx毎に異なっていても良い）、そのような環Rは可換です。N. Jacobsonが1945年に証明しました。

N. Jacobsonによるoriginalの証明は http://www.jstor.org/stable/1969205 にあります（ただし、購読しないと読めません）。"x^n=x commutative ring jacobson"で検索すると色々ヒットするので、どっかに読める証明があるかもしれません。