2回の硬貨投げの確率空間(Ω,B_2,P_2)に於いてX_2(2回目の結果)が可測になる事を示せ

質問

宜しくお願い致します。

可測の定義は「BをΩ上のσ集合体とする。∀r∈R,{x∈Ω;f(x)>r}∈Bならばf:Ω→R∪{±∞}は可測であるという」です。

[問ア]2回の硬貨投げの確率空間(Ω,B_2,P_2)に於いてX_2(2回目の結果)が可測になる事を示せ。
[解]
Ω={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)},B_2=2^Ωと採れるから
(i) r<0の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=Ω∈B_2
(ii) 0≦r<1の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}={(0,1),(1,1)}∈B_2
(iii) 1≦rの時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ∈B_2
以上からX_2は可測。

[問イ]1回の硬貨投げの確率空間(Ω,B_1,P_1)に於いてX_2(2回目の結果)が可測でない事を示せ。
[解]
Ω={0,1},B_1=2^Ωと採れるから
(i) r<0の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ(∵X_2(w)は定義されてない)　∈B_2 (∵σ集合体の定義)
同様に
(ii) 0≦r<1の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ∈B_2
(iii) 1≦rの時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ∈B_2
以上からX_2は可測。

となってしまい,(イ)は可測となっていまいました。

『[アの正解]
{w∈Ω;X_2(w)>r}=
φ (r≧1)
{w∈Ω;X_2(w)=1} (0≦r<1)
Ω (r<0)
であることと
{w∈Ω;X_2(w)=i_2}={w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}∪{w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}である事から(ア)は従う。
(イ)は{w∈Ω;X_2(w)=1}がB_1に属さない事から明らかである』

と解説されているのですが意味が分かりません。私の証明の何処が間違っているのでしょうか?

回答No.1

kuwaman091

(2)は
任意に実数rに対して、
{ω∈Ω；X_2(ω)>r}∈B_1となることを示せばいいのだと思うのですが。成り立たないんですよね。実際に

{ω∈Ω；X_2(ω)=1}={ω∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=1}∪{ω∈Ω;X_1(ω)=1,X_2(ω)=1}

{ω∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=1} not∈ B_1
{ω∈Ω;X_1(ω)=1,X_2(ω)=1} not∈ B_1

{ω∈Ω；X_2(ω)=1}not∈B_1
だからだと思います。あまり自信はないですが。

ちなみに
「{w∈Ω;X_2(w)=i_2}={w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}∪{w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}である事から(ア)は従う。」
は森先生のタイプミスだと思いますが。

お礼

ありがとうございます。

> (2)は
> 任意に実数rに対して、
> {ω∈Ω；X_2(ω)>r}∈B_1となることを示せばいいのだと思うのですが。成り立たないんですよね。実際に
> {ω∈Ω；X_2(ω)=1}={ω∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=1}∪{ω∈Ω;X_1(ω)=1,X_2(ω)=1}
> {ω∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=1} not∈ B_1
> ω∈Ω;X_1(ω)=1,X_2(ω)=1} not∈ B_1
> {ω∈Ω；X_2(ω)=1}not∈B_1
> だからだと思います。あまり自信はないですが。

つまり,r=0の時 {ω∈Ω；X_2(ω)>0}={ω∈Ω；X_2(ω)=1}
という訳ですね。　確率空間(Ω,B_1,P_1)では確率変数X_2は定義されてないので
{ω∈Ω；X_2(ω)>0}={ω∈Ω；X_2(ω)=1}が成り立つかどうかは不明だと思うのですが…。
いかがでしょうか?

> ちなみに
> 「{w∈Ω;X_2(w)=i_2}={w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}∪{w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}
> である事から(ア)は従う。」
> は森先生のタイプミスだと思いますが。

{w∈Ω;X_2(w)=i_2}={w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}∪{w∈Ω;X_1(w)=1,X_2(w)=i_2}
となるのですね。