数学 積分

質問

この問題の解き方をおしえてください。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

∫[0:2]∫[1:3](1+x+2y)dxdy
=∫[0:2]((1/2)x^2+(1+2y)x)[1:3]dy
=∫[0:2]((1/2)(9-1)+(1+2y)(3-1))dy
=∫[0:2](4+(1+2y)*2)dy
=∫[0:2](6+4y)dy
=(6y+2y^2)[0:2]
=6(2-0)+2(4-0)
=12+8
=20

お礼

分かりやすい迅速な解法ありがとうございます！

回答No.2

noname#227880

与式を次のように考えます。
∫[0→2]{∫[1→3](1+x+2y)dx}dy
{}内はxについての定積分であるから、yを定数として扱います。
よって、
∫[1→3](1+x+2y)dx
=[x^2/2+(2y+1)x][1→3]
=3^2/2+(2y+1)*3-{1^2/2+(2y+1)}
=4y+6
これから、
与式
=∫[0→2](4y+6)dy
=2∫[0→2](2y+3)dy
=2[y^2+3y][0→2]
=2*(2^2+3*2)
=2*10
=20

なお、∫[1→3]{∫[0→2](1+x+2y)dy}dxを考えると、{}内は次のようになります。
∫[0→2](1+x+2y)dy
=[y^2+(x+1)y][0→2]
=2^2+(x+1)*2
=2x+6
これから、
∫[1→3]{∫[0→2](1+x+2y)dy}dx
=∫[1→3](2x+6)dx
=2∫[1→3](x+3)dx
=2[x^2/2+3x][1→3]
=2*{3^2/2+3*3-(1^2/2+3*1)}
=2*10
=20
となって、値は一致します。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます！！