数学半分物理半分

質問

【前書き】これは以前質問し、良回答を得て、ひとまず締め切り済みにしたものですが、一人の丁寧な回答者の回答の中身をを確認していたところ、数学的にわからないことがあったのでまた質問させていただきます。mmkyさんの回答した別解の方がわかりません。
【問題】　
　内部抵抗が2オームの電池18個を用いて直列にm個接続したものを、更にn列(並列)接続し
て、負荷抵抗4オームに最大の電流を流すためのmを求めよ。
【解答】
　電池の内部抵抗：ｒ＝（ｍ/n)*2
負荷に最大の電流を流すにはｒ＝4オーム又、題
意よりmn=18の関係式が成立する。りょうしきからｍを求めるとm＝6となる。
【別解】（ｍｍｋｙさん）
電池１個の電圧をVb、電池一個の内部抵抗をｒ、電池の電圧をV、内部抵抗をRとして、それにつなぐ負荷抵抗をZとする。
　I=V/(R+Z),I*(R+Z)-V=0
I=mVb/{(m^2/18)*r+Z)}となり、ｍとしての
変数としＩの最大値を求めると
　dI/dm=Vb{((m＾2/18)*r+Z)-(2m^2r/18)}/{(m^2/18)*r+Z)}^2=0
　以上よりｍ＝6
【質問】1）dIとかｄｍって、一体なんですか？
数学で導関数のときに、d/dxは習ったことがあります。
　2）dI/dm=0になるときにmを変数としてＩの最大値を求めるとＩの最大値が求められるのは何でですか？

回答No.1

mmky · ベストアンサー

【質問】1）dIとかｄｍって、一体なんですか？

Iは電流ですね。そのIが個数ｍの関数なので、Iをｍで微分するということですね。I=f(x), dI/dx　ならばわかり安いでしょう。このxをｍに置き換えただけですね。

　2）dI/dm=0になるときにmを変数としてＩの最大値を求めるとＩの最大値が求められるのは何でですか？

微分というのは関数の傾きを得るものです。その関数の曲線が凸や凹の形状をしていると、山の頂上や谷の底では微分値つまり傾きがゼロになるのですね。だから最大や最小の条件を求める時に利用できるのです。

お礼

数式はどうしてこうなるかわかりませんがひとまずありがとうございました。

補足

はじめましてmmkyさん。森と申します。文系出身ですが、一応数(3)までやりました。商の微分を使っていることは、理解できました。そうすると、I'={[m*Vb]’(m^2/18*r+Z)-(m*Vb)[m^2/18*r+Z]'}／{m^2/18*r+Z}＾2になり、分母を整理すると(m'*Vb+m*Vb')(m^2/18*r)-(m*Vb)(m^2/18*r+m^2/18*r'+Z')となり、mmkyさんのやったようにはなりません。mmky産のやった世にするための式の整理をあまり省略せずに、書いてもらえませんか？

回答No.2

mmky

I'={[m*Vb]’((m^2/18)*r+Z))-(m*Vb)[(m^2/18)*r+Z]'}／{(m^2/18)*r+Z}＾2
I'=0 の条件は分母{(m^2/18)*r+Z}＾2>0 なので分子がゼロになれば良いですね。
だから、
{[m*Vb]’((m^2/18)*r+Z)-(m*Vb)[(m^2/18)*r+Z]'}=0
ここまではいいですね。ここから、
mが変数でm以外は定数なので
=Vb*((m^2/18)*r+Z))-(m*Vb)(2m/18)*r}
=Vb{Z-(m^2r/18)}=0
Vb>0, {Z-(m^2r/18)}=0,
だから、Z=(m^2r/18)　が最大（または最小）条件
最大は題意より明白ですので最大条件になります。
註：
[m*Vb]'=Vb
Vbは定数ですからaX をXで微分と同じですのでmで微分すると定数Vb になりますね。
[m^2/18*r+Z]'=(2m/18)*r
これもrX^2 をXで微分と同じ, Xの代わりにm で微分
いろいろな変数がある場合の微分は目的の変数以外は
定数とします。つまり目的の変数に対する増減だけを見るのです。

お礼

mmkyさんは頭がよろしいですね。僕は、英語以外全然駄目でした。