直並列回路（難問）

質問

直並列回路の問題について質問です。自分なりにといてみましたが、この解法以外に簡単な解法があったらご教示ください。
18個の電池を使って、m個直列つなぎの内部抵抗が2オームの電池が,n列並列つなぎであるとする、さらにもうひとつ4オームの抵抗を並列つなぎして、この4オームの抵抗に最大の電流を流す為のmを求めよ。という問題で、私の解法はｍ*n＝18,
m>1,という式を導きさらに、m,n,r,E,Iの表を作り6通りのm,nの組み合わせの中から、Iの一番大きいのを探り当てるという方法です。m＝6でした。他に簡単な解法があったらご教示ください。
また解答に4オームの抵抗に最大電流を流すには内部抵抗を4オームにすると書いてありましたが、どういう理由からでしょうか？

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

次のように考えてみました。ご検討ください。

mn =18　∴n=18/m

m個直列1本に流れる電流i，R=4Ωに流れる電流Iとすると，
ni = I ∴I=i/n

n列の電池群の端子電圧Vは電池1個当たり起電力をEとして，
V = m(E-ri)

したがって，電流は
I = V/R = m(E-rI/n)/R
Iについて解くと
I = E/(R/m+r/n)

この分母を最小にするm,nの組を求めることになります。
微分してもよいのですが，この手の問題の常套手段として
R/m + r/n = R/m + mr/18 = {√(R/m) - √(mr/18)}^2 + √(2Rr)/3
と変形すると，
R/m = mr/18 すなわち　m^2 = 18R/r = 36 ∴m=6 のときIは最大で
Imax = 3E/√(2Rr) = 3E/4
となります。

最後のご質問は，結果的には起電力 mE = 6E，内部抵抗 mr/n = R = 4Ωとなるものの，趣旨は今のところ定かでありません。