一様分布における証明問題

質問

統計学の問題で困っています。
どなたか解ける方おられましたら、是非教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

Xを一様分布U(0,1)に従う確率変数とし、αを正の定数とするとき、

Y=-α^(-1)・lnx

の分布は指数分布Ex(α)となることを示せ。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

Xを一様分布U(0,1)に従う確率変数とし,
α>0を正定数とすると

x<0の時P(X<x)=0
0≦x≦1の時
P(X<x)=x…(1)
x>1の時P(X<x)=1…(2)

P(Y<x)
=P(-α^{-1}ln(X)<x)
↓[<]の両辺にαをかけると
=P(-ln(X)<αx)
↓[<]の両辺にln(X)-αxを加えると
=P(-αx<ln(X))
↓[<]の両辺のexpをとると
=P(e^{-αx}<X)
=1-P(X≦e^{-αx})…(3)

x≧0の時
-αx≦0
だから
0<e^{-αx}≦1
だから(1)から
P(X<e^{-αx})=e^{-αx}
P(X≦e^{-αx})=e^{-αx}
だから(3)から
P(Y<x)=1-e^{-αx}

x<0の時
-αx>0
だから
e^{-αx}>1
だから(2)から
P(X<e^{-αx})=1
P(X≦e^{-αx})=1
だから(3)から
P(Y<x)=0

x≧0の時
P(Y<x)=1-e^{-αx}
x<0の時
P(Y<x)=0
となるから
Yの分布は指数分布Ex(α)となる

お礼

詳細にありがとうございます。
無事理解することができました、感謝します。