数学 行列

質問

画像の問題のヒントをこの前もらったのですが、a,b,c,dに関する連立方程式を作ればいいと言われたのですが、作り方がいまいち分かりません。あと、(2)を展開すると(1)と同じになるのですが、答えも同じになるのですか？お願いします。

回答No.5

asuncion

左辺の1行1列 = 右辺の1行1列
左辺の1行2列 = 右辺の1行2列
左辺の2行1列 = 右辺の2行1列
左辺の2行2列 = 右辺の2行2列

という、a, b, c, dに関する4つの式ができるはずです。
未知数が4つで式が4つありますから、たぶん解けるでしょう。

回答No.4

info222_

A=[1,0;1,1], X=[a,b;c,d]
(1)
X^2-A^2=[a^2+bc-1,ab+bd; ac+cd-2,bc+d^2-1]=[0,0;0,0]
a^2+bc=1,
ab+bd=0,
ac+cd=2,
bc+d^2=1

解けば
(a=1,b=0,c=1,d=1) or (a=-1,b=0,c=-1,d=-1)

(2)
(X+A)(X-A)=([a+1,b;c+1,d+1])([a-1,b;c-1,d-1])
=[b(c-1)+a^2-1,b(d-1)+(a+1)b;(c-1)(d+1)+(a-1)(c+1),d^2-1+b(c+1)]
=[0,0; 0,0]
a^2+b(c-1)=1,
b(a+d)=0,
(c-1)(d+1)+(a-1)(c+1)=0,
b(c+1)+d^2=1

解けば
(a=1,b=0,c=1,d=1) or (a=-1,b=0,c=-1,d=-1) or (a=1,b=0,c=任意,d=-1)

回答No.3

asuncion

＞X^2 - XA - AX - A^2

書き間違いがありました。
展開するとX^2 - XA + AX - A^2 ... (1)
となります。ここで、Aは単位行列ではありませんので、
XA ≠ AX です。
よって、(1)において、-XA と +AXを打ち消すことはできません。

補足

このあとも連立で解くと言っていましたが、どうやって連立方程式にするのですか？

回答No.2

asuncion

a^2 + bc = 1 ... (1)
ab + bd = 0 ... (2)
ac + cd = 2 ... (3)
bc + d^2 = 1 ... (4)

(1) - (4)より、(a + d)(a - d) = 0, a = ±d
(3)より、c(a + d) = 2であるから、a + d = 0は不適
よってa = d
(3)より2ac = 2, ac = 1, cd = 1
(3)よりc(a + d) = 2 ... (4)
(2)よりb(a + d) = 0 ... (5)
(5)÷(4)よりb/c = 0, よってb = 0
(1)に代入してa = ±1
a = dだからd = ±1
cd = 1だからc = ±1
よって求める行列Xは2つあり、
[1 0]
[1 1]
と
[-1 0]
[-1 -1]

回答No.1

asuncion

X^2 の1行2列が、ab + ad ではなくて ab + bd であるように思います。
X^2もA^2も2行2列ですから、対応する行・列の値は互いに等しいので、
a^2 + bc = 1
ab + bd = 0
ac + cd = 2
bc + d^2 = 1
という4元連立方程式を解けばよいのではないでしょうか。

また、(X - A)(X + A)を展開すると
X^2 - XA - AX - A^2
となりますが、Aは単位行列ではないので、
XA ≠ AX
です。この点に注意が必要であると思います。