重積分についての問の解法を教えてください。

質問

重積分についての問の解法を教えてください。
∫∫D(y/x+y)e(y/x+y)^2dxdy
となる式に対して
(D：x>=0,y>=0,1/2<=(x+y)<=1とする時)
Iの値を求める問題です。

ヒントとして、Iを累次積分化後、x=u(1-v),y=uvと置き換えて、u,vに関する積分を作るとよい、という指針が与えられているのですが、どうにも解けません。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足から

>∫∫(D){(y/(x+y))e^(y/x+y)^2}dxdy
>(範囲D：x>=0,y>=0,1/2<=(x+y)<=1)

指数部の括弧も抜けていませんか？
次のように括弧を補えば良いですか？

そうであれば,
I=∫∫(D){(y/(x+y))e^(y/(x+y))^2}dxdy
ヒントのように
x=u(1-v),y=uvとおくと
x＋y=u,y=uv
ヤコビアンを計算すると|J|=u
D⇒E={(u,v)|1/2<=u<=1 0<=v<=1}
なので
I=∫∫(E){v*e^(v^2)*ududv
=∫[1/2,1]udu∫[0,1]v*e^(v^2)dv
={[(u^2)/2] [1/2,1]}*{[(1/2)e^(v^2)] [0,1]}
={(1/2)-(1/8)}*(1/2)(e-1)
=3(e-1)/16

お礼

丁寧な解説をありがとうございます。
I=∫∫(E){v*e^(v^2)*ududv
まではたどりついていましたが、Jacobianを間違えて計算していたため、答えが0になっていました。
すっきりしました。

補足

お礼を書いた後に申し訳ないのですが、補足します。

I=∫∫(E){v*e^(v^2)*ududv

I=∫∫(E){v*e^(v^2)*|J|dudv
まではたどり着いていましたが、|J|を間違えておりました。

ところで、
=∫[1/2,1]udu∫[0,1]v*e^(v^2)dv
→={[(u^2)/2] [1/2,1]}*{[(1/2)e^(v^2)] [0,1]}
でしょうか?
部分積分の公式を利用すると、

∫ve^(v)^2dv
→ve^(v)^2-e^(v)^2
となるのでは?
(そうすると、[ve^(v)^2-e^(v)^2][1,0]=-1になってしまいます。)

回答No.4

info22_

#1,#3です。

A#3の補足質問の回答

>ところで、
=∫[1/2,1]udu∫[0,1]v*e^(v^2)dv
→={[(u^2)/2] [1/2,1]}*{[(1/2)e^(v^2)] [0,1]}
でしょうか?

↑で間違いないですよ。

>部分積分の公式を利用すると、
>∫ve^(v^2)dv
> →ve^(v^2)-e^(v^2)
>となるのでは?
明らかにこの部分積分は間違いですね？
e^(v^2)の積分はe^(v^2)になるとしてませんか？
なぜこんな間違った部分積分が出来るんでしょう（？？？）。
「ve^(v^2)-e^(v^2)」を微分したら被積分関数「ve^(v^2)」に戻りまんよ？
微分したら→「e^(v^2)+2(v^2)e^(v^2)-2ve^(v^2)」となり「ve^(v^2)」になりませんね。

回答No.2

noname#121794

x=u(1-v),y=uvとおくと
x＋y=u
y=uv
これより(y/x+y)e(y/x+y)^2＝vexp(v^2) E={(u,v)|1/2<=u<=1 0<=v<=1}
∫∫D(y/x+y)e(y/x+y)^2dxdy
＝∫∫E vexp(v^2)dudv
＝∫(0～1)vexp(v^2)/2dv
＝(e-1)/4

回答No.1

info22_

被積分関数
>(y/x+y)e(y/x+y)^2
の書き方が正確でなく何処までが分数、分母、指数部の範囲なのか、分からないので、回答できません。多重括弧を使って分かるように書き直してください。
例えば
((y/x)+y)e^(((y/x)+y)^2)
(y/(x+y))e^((y/(x+y))^2)
その他
どの書き方が正しいか分かりませんので回答不能です。

また
君のやった範囲の途中計算を補足に書いて、どこから躓いて分からないかを質問してください。

補足

これでは分からないですね…すみません。
∫∫(D){(y/(x+y))e^(y/x+y)^2}dxdy
(範囲D：x>=0,y>=0,1/2<=(x+y)<=1)
です。

今書き込むために再計算してみたら、累次積分で既に間違っているようです…。