素数に関係した法則？

質問

n^2+m^2でnとmに任意の整数を入れてみるとある組み合わせでは素数になりますが、このことに何か意味があるのでしょうか。

回答No.6

staratras · ベストアンサー

素数の分類を考えると、m,nを自然数として、p=m^2+n^2の形式で表すことができる奇数の素数pは、4で割ると1余る素数だけです。また4で割ると1余る素数はすべてm^2+n^2の形式で表すことができます。4で割ると3余る素数はこの形式では表せません。(奇数の平方数はすべて4で割ると1余る数だからです。)

たとえば　5=2^2+1^1、13=3^2+2^2、17=4^2+1^2ですが、3、7、11など4で割ると3余る素数はこの形では表せません。

お礼

学校で習わなかったので、改めて面白いものだなと驚きました。共役複素数で表わしたら(n+m)(n-m)なので素数も虚数もピタゴラスの定理とどこかでつながっているのかなと思いました。

補足

お礼コメントのところで(n+mi)(n-mi)と書いたつもりでうっかりしておりました。

回答No.9

Water_5

素数セミ
http://www.tenki.jp/suppl/romisan/2016/08/18/14811.html

17年蝉と13年蝉がいるようだ。

（√13）^2=3^2+2^2
　　　　　=（3+2i）(３-2i)

（√17)^2=4^2+1^2
　　　　=(４＋i)(4-i)

この式からそうなった理由を説明できそうにない。
蝉の進化は氷河時代までさかのぼるので。

種の保存に関係あるのか？
１７ｘ１３＝２２１年に一回の大合唱。

お礼

たどたどしく自分でも計算している途中なのですがA^2+(A+1)^2（Aは任意の整数）という系列もありそうですが、途中５が出てきて途切れているようです。しかし何か不思議な気がしているのでもう少し計算してみたいと思います。

回答No.8

Water_5

（√5）^2=2^2+1^2
　　　　=（2+i）（2-i）

（√13）^2=3^2+2^2
　　　　　=（3+2i）(３-2i)

（√17)^2=4^2+1^2
　　　　=(４＋i)(4-i)

お礼

ずいぶんきれいな関係があるのですね！この関係が成立しない素数にも別の法則のようなものがあるのでしょうか。

補足

41は 5^2+4^2ですね。もっと一般的な規則があるのでしょうか。

回答No.7

Water_5

ｚ＝ｍ＋ｎiとした時

｜ｚ｜＝（ｍ＋ｎi）（ｍーｎi）
　　　＝ｍ＾２＋ｎ＾２
となり、ピタゴラスの定理そのものです。

逆に言えば、複素数の世界はピタゴラスの定理を
そのまま温存、包含しており、万人が認める数学
の世界と言える。

お礼

素数とピタゴラスの定理が関係していることも不思議ですね。

回答No.5

Water_5

ANo3について

最近の素数は、性質の違いによる分類、
条件の違いによる分類分けが、少しづつ進んでいる。

回答No.4

Water_5

ANo2について

ある素数（a,b,c）が（A)式で偶然成立したとした時、その意義は大きいです。

何故なら、数学者は、【ある素数(a,b,c)は何故（A)式を満たすのか？】を興味を持って、その謎を解こうとするからです。

素数の不思議さは、今日までそうやって、少しづつ
発展してきました。素数の世界は、謎だらけ、不思議さだらけです。

回答No.3

Water_5

-----------------------------------
フェルマーの定理
( n = 3、4、5、6、…)に対して

x^(n) + y^(n) = z^(n)

を満たす自然数解(x、y、z)は存在しない。…(*)
------------------------------
と言う定理が存在する。

素数解(a,b,c）＜ 自然数解(x、y、z)なので
素数解は存在しない」とフェルマー君は言っております。

ただｎ＝２の場合はわかりません。

お礼

私にはまったくわからない高度なお話ですが、ひょっとして素数も、いろいろな分類ができるのかなと想像しました。

回答No.2

Water_5

x^n + y^n = z^n ・・・・・・（A)

（ｘ、ｙ、ｚ）が実数で、n=2の時それはピタゴラスの定理を表す。

（ｘ、ｙ、ｚ）が素数の時、（A)式が成立する時も
あるのでは？

お礼

必ず成立することはないとすれば、偶然というか、それほどの意味はないということになるのでしょうか。

回答No.1

chiha2525_

４で割ると１余る。（らしい）

お礼

素数とは関係ないですか。