不静定次数を求める式

質問

添付図書のように、不静定次数を求める式が
2種類見つかりました。その中で
n=r+k-3q 　の使い方がよく分かりません。
説明をお願いいたします。

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

じつは質問の図の式は面倒臭いので、あまり使った事はありません。

　静定・不静定の定義です。

　「力の釣り合い条件だけから、全ての部材力（支点反力含む）を決定できる時、静定と呼ぶ」
　「そうでない時、不静定と言う。ただし不安定（構造系が自立しない）は除く」

　ここで力の釣り合い条件とは、鉛直方向と水平方向の力の釣り合い（合力0）および力のモーメントの釣り合い（モーメントの合計0）の3個です。

　まず外部不静定次数ですが、これは簡単です。上の定義から構造系全体の釣り合い状態を、構造系全体の力の釣り合い条件だけから決定できる時、外部静定です。具体的には、支点反力を決定できれば良いので、これは支点だけに関係する話です（内部がどんなに複雑でも）。

　質問の図ではピン支持×2なので、それぞれに鉛直反力と水平反力があり、支点反力数は2×2＝4。一方、力の釣り合い条件は3個なので、4－3＝1の外部1次不静定です。

　外部不静定次数を処理すると、内部不静定次数は構造内部の部材だけに関わる話なので（反力無関係）、反力は全てわかったものとして数えます。

　添付図の図-1は部材を水平に描いてますが、斜めの場合も作用荷重の横荷重，縦荷重方向の分力を取れば、同じ話が可能です。次が構造力学の大前提です。

　「作用荷重と材端力だけから、部材任意断面への作用応力は決定できる」

　当然と言えば当然の話なんですが、構造力学の最終目標は、設計で使用する断面応力を決定する事です。それが作用荷重と材端力だけから決定でき、作用荷重は与えられる既知の力なので、未知材端力の決定が構造力学の具体的な最終目標になります。

　ここで材端力とは図-1に示した、端軸力，端せん断力，端曲げモーメントの事で、それぞれ2個ずつあるので、1部材につき未知の材端力は一般には6個になります。せん断力と曲げモーメントまで考慮するのは、部材は最も一般的には曲げ部材だからです。

　ところが部材にも、3個の力の釣り合い条件を適用できるので、6個の材端力のうちのどれか3個がわかれば、残り3個を計算できる事になります（6－3＝3）。よって未知材端力の個数は1部材につき、一般には最大3個です。

　ここまでの話で、一つ結論を出せます。構造力学の目標は未知材端力を出す事なので、一番正直にやると「たとえ通し部材であっても、節点で分割する」です。

　実際にはこれに構造系の特殊事情が加わります。例えば部材両端がピン結合のトラス部材なら、最初から端モーメント2個は0とわかりますから、未知材端力は、6－2－3＝1です。

　質問の図のbc，cd部材では片側ピンなので、6－1－3＝2です。図ではトラス部材が4つ、片側ピン部材が2つなので、全体で未知材端力は、1×4＋2×2＝8個になります。

　次に未知材端力の決定のために、節点での力の釣り合い条件を使います。何故そうすべきかというと、添付図の図-2を見れば、概ね理由がわかると思います。図-2はトラス構造の支点部で典型的に現れる状況です。ここで支点反力Ｖ，Ｈは、内部不静定の話なので、わかっているものと考えます。ピン支点で力の釣り合い条件を取れば、図-2の下側の式が得られます。最初の2式から、トラス部材の軸力T1，T2を決定できます。

　注目すべきは、2つの式に部材の成す角θが入っている事です。つまり節点での力の釣り合い条件には、どんな構造なのか？という、構造形状の情報が反映される事になります。だからこそ構造ごとに、適切に部材力を決定できる訳です。

　3番目の式は念のため、です。これはモーメントの釣り合いを表していますが、完全なピン結合の場合、やっても0＝0が得られるだけで無意味（使えない条件）という事です。

　質問の図では節点a，b，d，eは完全なピン結合なので、それらで使える力の釣り合い条件は、2×4＝8。cでは、部材bcとcdの材端モーメントがあるので、モーメントの釣り合いが意味を持ち、3。全部で8＋3＝11です。一方、未知材端力の合計は8。8＜11なので、不安定？。

　いやそうじゃないんです(^^;)。内部不静定次数の場合、節点の釣り合い条件の総数から、3ひく必要があります。その事情が図-3です。外部不静定次数では、構造全体の釣り合い条件を考えます。図-3の上のように内部事情がどうあろうと、構造全体をひと塊の物体とみなして、力の釣り合いを取ります。という事は下の図のように、構造全体を単純梁に置き換えても、反力計算には問題ありません。

　単純梁で考えれば明らかと思うんですが、支点反力の計算で使う力の釣り合い条件とは、じつは支点の（節点の）力の釣り合い条件です。たとえ外部不静定であっても外力と釣り合う限り、全体系の力の釣り合いは必ず満たさなければならないので、支点の（節点の）3個の釣り合い条件を、自動的に使う事になります。

　従って内部不静定で「反力はわかったものと仮定する事」は、「節点の釣り合い条件を、既に3個使ってしまった」と同等になります。よって節点で使える力の釣り合い条件は、11－3＝8個になります。一方、未知材端力の総数も8個だったので、8－8＝0で内部静定です。

　全体では、使用可能な釣り合い条件が8＋3＝11個。未知材端力と支点反力の総数が8＋4＝12個で、全体ではめでたく（？）12－11＝1の1次不静定になります。

　なお不静定構造であっても、じっしつ静定計算でいける場合もあり得ます。典型的なのが図-4です。図-4はピン支点×2で外部1次不静定，内部静定は明らかな構造ですが、荷重P，Qの作用点の力の釣り合いで2個の斜材の軸力を出せます。斜材の軸力がわかったところで支点へと構造をたどると、下弦材の軸力がわかれば、支点反力まで出ちゃうのがわかります。

　ところが下弦材の軸力は、明らかに0なんですよ。何故なら下弦材は両端をピン支点で押さえられ、伸びも縮みもしないからです。「伸びも縮みもしない」とは、部材の変形状態まで考慮した事になり、静定の定義からすると「力の釣り合いのみで材端力を決定できた」事にはなりませんが、じっしつ静定計算です(^^)。