中学受験算数 立体図形の問題です。

質問

AB４cm、AD3cmの長方形ABCDがあります。

長方形ABCDを、対角線BDを軸として１回転した時にできる立体を作ります。この立体を、軸（BD）を含む平面で切断した時の切り口の図形の面積を求めなさい。ただし対角線BDの長さは５cmとします。

答えは、14.625cm2です。

解法を教えてください。わからなくて困ってます。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

「長方形ABCDと、その長方形を対角線BDに関して線対称に移動させた長方形を合わせた図形」の面積を求めればよい。

三角形ABDに注目する。
辺BDの中点をMとし、
辺AB上に点Nを「MN⊥BD」をみたすようにとる。
「直角三角形ABDから直角三角形MBNを取り除いてできる、四角形ADMN」が、求める図形の4分の1になる。
（四角形ADMNを、辺MNおよび辺MDに関して線対称移動させると求める図形が得られる）

直角三角形ABDの面積は 3×4÷2=6
直角三角形MBNはABDと相似であり、MB=BD÷2=5/2 なので
MN=MB×(3/4)=15/8
よってNMBの面積は (5/2)×(15/8)÷2=75/32 であり
四角形ADMNの面積は 6 - 75/32 = 117/32

よって求める図形の面積は
(117/32)×4 = 117/8 = 14.625 (答)

お礼

早速のご回答をありがとうございました。とてもよくわかりました。助かりました！