問題が解けずに困っています

質問

答えしか載っておらず、どうしてこの答えになるのかが分からないので教えてください。
（問題）
X軸上を点Aが次の規則にしたがって動くとする。
１回サイコロを振るごとに、
・５以下の目が出ると、X軸の正の方向に１進む。
・６の目がでると、原点に移動する。ただし、原点にある場合はその位置にとどまる。
点Aは最初に原点にあるとする。
∞回サイコロを振った後の点AのX座標の期待値を求めよ。
（答え）
５

回答No.1

miniture_min · ベストアンサー

等比級数の公式は
Σr^k={1-r^(n+1)}/(1-r)　　－(a)

kが∞まで増加する場合は、r^(n+1)→0に収束するので式(a)は
Σr^k=1/(1-r)　　－(b)

この時、(b)を微分すると、左辺はΣk{r^(k-1)},右辺は1/(1-r)^2が得られ、
Σk{r^(k-1)}=1/(1-r)^2　　－(c)
が、成り立つ。(c)式の両辺にrを掛けると、次の(d)が成り立つ
Σk×r^k=r/(1-r)^2　　－(d)

ここで、サイコロの1～5までの目の出る確率は5/6,6の目が出るまで繰り返すのだから、
最大の数の期待値は、6の目が出るまでの確率との積になるので
1:1×(5/6)×(1/6)
2:2×(5/6)^2×(1/6)
3:3×(5/6)^3×(1/6)
4:4×(5/6)^4×(1/6)
・
・
・

つまり、繰り返してサイコロを振る回数をkとして

k→∞ならば　(1/6)×Σk×(5/6)^k=(5/6)/(1-5/6)^2=5

間違ってたらゴメンナサイ。

お礼

こんなに早くありがとうございます。
なるほど・・・。
なんとなくは理解できました。
もう一度解き方を確認しながらやってみます。

回答No.3

sanori

こんばんは。面白い問題ですね。
チャレンジします。

-------------------------------------
ｎ回振ったとき・・・

・ｎだけ進む確率は、
　６が１回も出ない確率なので、
　（５／６）^n

・ｎ－１だけ進む確率は、
　最初が１／６で、次から５／６なので、
　（１／６）（５／６）^(n-1)

・ｎ－２だけ進む確率は、
　１回目はどうでもよくて、
　２回目が１／６で、次から５／６なので、
　（１／６）（５／６）^(n-2)

・ｎ－３だけ進む確率は、
　２回目まではどうでもよくて、
　３回目が１／６で、次から５／６なので、
　（１／６）（５／６）^(n-3)

（中略）

・２だけ進む確率は、
　ｎ－３回目まではどうでもよくて、
　ｎ－２回目が１／６で、次から５／６なので、
　（１／６）（５／６）^2

・１だけ進む確率は、
　ｎ－２回目まではどうでもよくて、
　ｎ－１回目が１／６で、次が５／６なので、
　（１／６）（５／６）^1

・０にある確率は、期待値とは関係ないので、計算不要

-------------------------------------

よって、ｎ回振ったときの期待値は、
ｎ（５／６）^n　＋　（ｎ－１）（１／６）（５／６）^(n-1)
　＋　（ｎ－２）（１／６）（５／６）^(n-2)　＋　（ｎ－３）（１／６）（５／６）^(n-3)
　＋　・・・・・　＋　２（１／６）（５／６）^2
　＋　１（１／６）（５／６）^1

　＝　ｎ（５／６）^n
　　　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)　＋　（１／６）（５／６）^(n-2)
　　　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)　＋　（１／６）（５／６）^(n-2)　＋　（１／６）（５／６）^(n-3)
　　　＋　・・・・・
　　　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)　＋　（１／６）（５／６）^(n-2)　＋　（１／６）（５／６）^(n-3)　＋　・・・　＋　（１／６）（５／６）^2
　　　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)　＋　（１／６）（５／６）^(n-2)　＋　（１／６）（５／６）^(n-3)　＋　・・・　＋　（１／６）（５／６）^2　＋　（１／６）（５／６）^1

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　＋　Σ[k=n-2→n-1]（１／６）（５／６）^k
　　　＋　Σ[k=n-3→n-1]（１／６）（５／６）^k
　　　・・・・・
　　　＋　Σ[k=2→n-1]（１／６）（５／６）^k
　　　＋　Σ[k=1→n-1]（１／６）（５／６）^k

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　＋　（１／６）Σ[k=n-2→n-1]（５／６）^k
　　　＋　（１／６）Σ[k=n-3→n-1]（５／６）^k
　　　・・・・・
　　　＋　（１／６）Σ[k=2→n-1]（５／６）^k
　　　＋　（１／６）Σ[k=1→n-1]（５／６）^k

-------------------------------------

ここで、
Ｓ　＝　Σ[k=a→b]（５／６）^k
　＝　（５／６）^a　＋　（５／６）^(a+1)　＋　・・・　（５／６）^(b-1)　＋　（５／６）^b
とすれば、
５／６・Ｓ　＝　（５／６）^(a+1)　＋　（５／６）^(a+2)　＋　・・・　（５／６）^b　＋　（５／６）^(b+1)
なので、上から下を引き算すれば、
１／６Ｓ　＝　（５／６）^a　－　（５／６）^(b+1)
よって、
Ｓ　＝　６｛（５／６）^a　－　（５／６）^(b+1)｝

-------------------------------------

よって、上記の続きは、
　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　＋（１／６）・６｛（５／６）^(n-2)　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　＋（１／６）・６｛（５／６）^(n-3)　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　・・・・・
　　　＋　（１／６）・６｛（５／６）^2　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　＋　（１／６）・６｛（５／６）^1　－　（５／６）^(n-1)｝

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　＋　｛（５／６）^(n-2)　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　＋　｛（５／６）^(n-3)　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　・・・・・
　　　＋　｛（５／６）^2　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　＋　｛（５／６）^1　－　（５／６）^(n-1)｝

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　＋　｛（５／６）^(n-2)　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　＋　｛（５／６）^(n-3)　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　・・・・・
　　　＋　｛（５／６）^2　－　（５／６）^(n-1)｝
　　　＋　｛（５／６）^1　－　（５／６）^(n-1)｝

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　－　（ｎ－２）（５／６）^(n-1)
　　　＋　（５／６）^(n-2)　＋　（５／６）^(n-3)　＋　（５／６）^(n-4)　＋　・・・・・　＋　（５／６）^3　＋　（５／６）^2　＋　（５／６）^1

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　－　（ｎ－２）（５／６）^(n-1)
　　　＋　Σ[k=1→n-2]（５／６）^k

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　－　（ｎ－２）（５／６）^(n-1)
　　　＋　６｛（５／６）^1　－　（５／６）^(n-1)｝

　＝　ｎ（５／６）^n 　＋　（１／６）（５／６）^(n-1)
　　　－　（ｎ－２）（５／６）^(n-1)
　　　＋　５　－　（５／６）^(n-1)

-------------------------------------

ここで、各項の極限を考えます。
lim[n→∞]ｎ（５／６）^n 　＝　０　　（べき乗は掛け算に勝る）
lim[n→∞]（１／６）（５／６）^(n-1)　＝　０
lim[n→∞]（１／６）（５／６）^(n-1)　＝　０
lim[n→∞]－（ｎ－２）（５／６）^(n-1)　＝　０　（べき乗は掛け算に勝る）
lim[n→∞]５　＝　５
lim[n→∞]－（５／６）^(n-1)　＝　０

-------------------------------------

よって、ｎ→∞　での期待値は５です。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

回答No.2

miniture_min

算数を間違ってました。

誤：(1/6)×Σk×(5/6)^k=(5/6)/(1-5/6)^2=5
正：(1/6)×Σk×(5/6)^k=(1/6)×(5/6)/(1-5/6)^2=5