確率の問題を見てください。（ランダムウォーク）

質問

問題
サイコロを１個投げ、その出た目によって数直線上を次のように動く点Pがある。
　・1,2の目が出たら、正の方向に1進む。
　・3,4の目が出たら、その場にとどまる。
　・5,6の目が出たら、負の方向に進む。
このとき、次の確率を求めよ。ただし、点Pは原点0から出発し、座標が2の点をQとする。
☆サイコロを4回投げるとき、点Pが１度も点Qを訪れない確率

私の作った解答は以下です。
解答
点Pが点Qを訪れる確率を考えると、
(1)点Pが点Qを2回目で初めて訪れる場合
　はじめに2回続けて1,2の目が出ればよいので
　　(1/3)^2*(3/3)^2=(1/9)
(2)3回目で初めて訪れる場合
　3,4の目が1回目か2回目に出て、あと2回1,2の目が出ればよいので
　　2C1*(1/3)*(1/3)^2*(3/3)=(6/81)=(2/27)
(3)4回目で初めて訪れる場合
　はじめの2回で1,2か5,6の目が１回ずつ出て、
　あと2回1,2の目が出ればよいので
　　2C1*(1/3)^2*(1/3)^2=(2/81)
(1)、(2)、(3)は排反な事象であり、
合計すると点Pが点Qを訪れる確率となるので
　　(1/9)+(2/27)+(2/81)=(9+6+2)/81=(17/81)・・・※
求める確率は※の余事象の確率であるから、
　　1-(17/81)=(64/81)・・・答

以上のように作ってみましたが、確信はありません。
チェックしていただける方、よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

場合分けを次のように考えてみました。
4回までの試行のうち
・1,2の目が x回
・3,4の目が y回
・5,6の目が z回
起きたとします。x, y, zは0以上4以下の整数になります。

2回目、3回目、4回目で初めて訪れる場合を考えるのであれば、
x+ y+ z= 2 or 3 or 4

そのときの位置は「+2」であるので
x- z= 2 すなわち z= x-2
ここで z≧0を用いれば x≧2となります。
（最低でも2回は正の方向に進まないと「+2」に到達しないことを示しています）

この2つの式を連立させていきます。
x+ y+ z= 2 or 3 or 4と z= x-2より、x+ 2y= 4 or 5 or 6 としておきます。

(1) 2回目で初めて訪れる
x+ y+ z= 2, z= x-2
⇒ x+ 2y= 4, z= x-2, x≧2
⇒ (x, y, z)= (2, 0, 0)

(2) 3回目で初めて訪れる
x+ y+ z= 3, z= x-2
⇒ x+ 2y= 5, z= x-2, x≧2
⇒ (x, y, z)= (2, 1, 0)

(3) 4回目で初めて訪れる
x+ y+ z= 4, z= x-2
⇒ x+ 2y= 6, z= x-2, x≧2
⇒ (x, y, z)= (2, 2, 0), (3, 0, 1)

(3, 0, 1)は、「はじめの2回で1,2か5,6の目が１回ずつ出て、あと2回1,2の目が出ればよいので」を表していますが、
(2, 2, 0)が漏れていることになります。
これは「3回目までに 1,2が1回と 3,4が2回出て、4回目に 1,2が出る」ことになります。

お礼

ありがとうございます。
大変参考になりました。
4回めで初めて訪れる場合の中にもれがあったのですね。
ちなみに、
x+y+z=2or3or4 と z=x-2 より、x+2y=4or5or6のx+2y は、
2x+y でもいいのでしょうか？

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞x+y+z=2or3or4 と z=x-2 より、x+2y=4or5or6のx+2y は、
＞2x+y でもいいのでしょうか？

指摘されているとおり、記載ミスでした。
計算は 2x+yでの結果ですので、合っていると思います。
xの値から決めていくと、すんなり出ると思います。

失礼しました。

回答No.2

aqfeplus

チェックしました、が、私も自信があるわけではありません。
ひとつ抜けがあります。
（３）4回目で初めて訪れる場合
・はじめの2回で1,2か5,6の目が１回ずつ出て、残り2回1,2の目が出る場合(2/81)

に加えて、

・はじめの３回のうち、２度3,4が出て、１度1,2の目が出る。残りの４回目は1,2が出る。
3C2*(1/3)^2 * (1/3) * (1/3) = 3/81

よって
1-(20/81)=(61/81)・・・答

お礼

ありがとうございます。
やはりもれていたんですね（恥）
4回めではじめて訪れる場合もその場に止まってもいいんですか。。
動くことばかり考えていました。
「もれなく重複することなく」がなかなかできません（泣）