微分英語での文章問題

質問

A telecommunication cable needs to be connected from a town A to an island B as shown in the diagram. The island is 30km along the beach and 16km out to sea. The cost of laying the cable is three times higher in the water than on land. The cable will go along the beach 32-x km then direct to the island. Find x so as to minimise the cost.

次の式を立てて一番安いコストを探し出す為にまず微分しようとしているのですがこの微分の時点で難儀しています。

C = k(32-x)+3k√(x^2+16^2)
k(32-x)+3k√(x^2+16^2) = 32k-kx +(3k)(x^2+16^2)^(½)

C’= -k+(x^2+16^2)^(½)+ (½)(x^2+16^2)^(-½)(2x)(3k)
= -k+(x^2+16^2)^(½)+3kx(x^2+16^2)^(-½)
= (x^2+16^2)^(-½)[ (x^2+16^2) +3xk]-k
=[(x^2+16^2+3xk)/ √ (x^2+16^2)] - k
この先xをどうやって出したらいいのかわかりません。
ご教授お願い出来ますか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

C = k(32-x)+3k√(x^2+16^2)
これをxで微分したら
C’= -k+ (½)(x^2+16^2)^(-½)(2x)(3k)
ですね。ここからC=0になるところを求めるとx=4√2
ところで，図から判断するとC = k(30-x)+3k√(x^2+16^2)になると思うのだが，いかが？

お礼

凄いなあ、、数学部分の頭を取り替えて欲しいです。何でそんなに即座にわかるのでしょうか？

-k+ (½)(x^2+16^2)^(-½)(2x)(3k)　＝０　から　x=4√2　はどうやって出せるのですか？
この途中式を是非教えて頂きたいです。
お時間あれば説明して頂けますか？

補足

大きな計算ミスに気が付きました。
何とかなりそうです、ご回答有り難うございました。