アナログ時計の問題です、一般解を求む。

質問

0：00～12：00の間の12時間の間に、短針と長針が120°の角度をなすのは何回あるか？

です。正答は22回です。
1時間の範囲で、2回ずつ120°となる瞬間がある。
しかし3時・代に1回、8時・代に1回しかないので、12*2-2＝22回となるのは、分かるんですが

数え上げで解等を得ました。
スマートに式の処理で求める方法が知りたいです。

よろしくお願いします。

回答No.4

noname#227653 · ベストアンサー

長針と短針が重なってからまた重なるまでをひとつの周期と考えればわかりやすいのではないでしょうか。

長針は１分間に６度、短針は１分間に0.5度動くので、長針と短針の間は１分間に5.5度ずつ縮まります（開きます、といってもいいでしょう）。
ですから、長針と短針が重なってからまた重なるまでの時間は360度÷5.5度毎分で720/11分となります。
そして、この720/11分の間に、長針と短針の間の角度が120度になるときが２回あります。180度になる前と後の２回ですね。
この問題では０時から12時までの12時間のことを考えればいいわけですね。０時も12時も長針と短針が重なるので面倒なことはありません。この12時間、つまり720分を先ほどの720/11分で割ると11となります。つまり720/11分が11個入っているわけですね。
そしてこのそれぞれに、120度になるときが２回ずつあるので、答えは２×11で22回となります。

いかがでしょうか。

お礼

とてもシンプルで、解かりやすい解説でした。これなら角度が90度になった場合にも、応用が効き易いと感じました。

どうもありがとうございました。

回答No.3

kagakusuki

0:00～12:00の間に短針が進む角度は360°になります。
　同様に長針が進む角度は360°×12回転＝4320°になります。
　最初の0:00の時には長針と短針の2本の針がなす角度は0°なのですから、そこから12:00までの間に「『長針が進む角度』と『短針が進む角度』の差」は
360°×12回転－360°×1回転＝4320°－360°＝3960°
になります。
　長針が短針を追い抜いてから1回転し、再び短針を追い抜くまでの間に2本の針が進んだ角度の差は360°ずつ開いて行きます。
　そして角度差が360°増える間に2本の針がなす角度が120°になるのは短針に対する長針の角度が120°になった時と240°になった時だけです。
　2本の針の角度差が360°増えるごとに、短針に対する長針の角度が120°になった回数と240°になった回数は
それぞれ１回ずつ増えて行きます。
　短針に対する長針の角度が最初に120°になるのは、2本の針の進んだ角度の差が120°になった時であり、その後、2本の針の進んだ角度の差が3960°に達するまでの間に、短針に対する長針の角度が120°になる回数は
(3960°－120°)÷360°＝3840°÷360°＝10余り240°
なのですから、結局、0:00～12:00の間に短針に対する長針の角度が120°になる回数は
(360°×12回転－360°×1回転－120°)÷360°＋1＝(3960°－120°)÷360°＋1
＝3840°÷360°＋1
＝11余り240°
になります。
　同様に、0:00～12:00の間に短針に対する長針の角度が240°になる回数は
(360°×12回転－360°×1回転－240°)÷360°＋1＝(3960°－240°)÷360°＋1
＝3720°÷360°＋1
＝11余り120°
になります。
　従って、0:00～12:00の間に2本の針がなす角度が120°になる回数は
11＋11＝22
になります。

　これが
「0:00～12:00の間に短針と長針が120°になる回数」ではなく
例えば「8:00～17:00の間に短針と長針が90°になる回数」を求める場合には、短針に対する長針の角度が90°になる回数と(360°－90°)＝270°になる回数をそれぞれ求めれてから足し合わせれば良い訳です。
　8:00～17:00の間に短針と長針が進む角度の差は
((17＋0÷60)－(8＋0÷60))×(1－1÷12)×360°＝2970°
になります。
　8:00の時の長針から短針までの角度は
(8÷12－0÷60)×360°＝240°ありますから、8:00の直前に「短針に対する長針の角度が90°になった」のは「2本の針の進んだ角度」で表して
240°＋(360°－90°)＝510°
だけ前の事になります。
　「2本の針の進んだ角度の差」が2970°＋510°＝3480°だけ進む間に長針が1回転して「短針に対して同じ位置関係」となる回数は
((17＋0÷60)－(8＋0÷60))×(11／12)＋((8÷12－0÷60)×360°＋(360°－90°))÷360°＝9余り240°
になります。
　つまり、8:00～17:00の間に「短針に対する長針の角度」が90°となる回数は9回という事になります。
　同様に8:00～17:00の間に「短針に対する長針の角度」が270°となる回数は、
((17＋0÷60)－(8＋0÷60))×(11／12)＋((8÷12－0÷60)×360°＋90°)÷360°＝9余り60°
になります。
　従って、8:00～17:00の間に短針と長針が90°になる回数は9＋9＝18回という事になります。

　これを一般化して、a時b分～c時d分の間に「短針に対する長針の角度」がθ°となる回数を求めるには、
((c＋d÷60)－(a＋b÷60))×(11／12)＋((a÷12－b÷60)×360°＋(360°－θ°))÷360°＝M余りe°
((c＋d÷60)－(a＋b÷60))×(11／12)＋((a÷12－b÷60)×360°＋θ°)÷360°＝N余りf°
という計算をそれぞれ行ってから、MとNの合計を求めれば良いという事になります。

お礼

大変詳しく回答していただき感謝いたします。

補足

角度メインでの考え方、とても参考になります。
色々な見方を身に付けたいと思います。

回答No.2

noname#223065

数学ですから時計の設定は自由にしてよいでしょう。そこで、長針と短針の長さが同じだと考えて、針の先に着目してみます。

　長針の先も短針の先も同じ円周上を回ることになりますね。最初に長針と短針が重なっているとすると、そこからスタートして長針が1周して短針に追いつくことになります。算数でよく出てくる、「池の周りを回る、歩く速さの異なる兄弟」の問題と同じになります。

　長針は1時間で1周、短針は1時間で1/12周しますから、短針の先の速さは長針の先の速さの1/12になりますね。

　長針の先の分速をvと置くと、短針の先の分速はv/12で、針の先の回る円周の長さは、60vです（1時間は60分だから）。

　長針と短針が重なっている状態から、次に長針が短針に追いつくまでの時間を考えてみます。これは「長針が最初はちょうど1周遅れ」だと考えるとやりやすいでしょう。距離60v離れていると考えるわけです。

　そして、長針の先と短針の先の速度差は、v-v/12=11v/12という速度になります。この速度で距離60v行くのに何分かを考えればいいことになります。ですので、次に追いつくまでの分数は、

60v/(11v/12)=60×12/11（分）

となります。時に直すと、12/11=1+1/11時間です。1時間経っても追いつかず（短針も進むから当然）、さらに1/11時間必要ということになります。

　長針と短針の成す角度が120度になるのは、1回転する途中ですね。360度に対する120度の比は、120/360=1/3です。追いつくまでに1+1/11時間でしたから、120度になるのは、(1/1+11)/3です。
（こんな単純な割り算になることは、長針の先か、短針の先に乗っていると考えてみればよい。針の先に乗っていれば、動くのは他方の針で、360度に1+1/11時間だから、120度ならその1/3になると分かるはず。）

　かつ、240度の開きでも逆方向から見れば120度ですから、2(1/1+11)/3時間のときも120度ですね。

　0時～12時は12時間あるということですから、1+1/11時間が何回繰り返せるかといえば、12/(1+1/11)=12/(12/11)=11と、11回あることになります。

　この11回の間に2回、120度になるわけですから、11×2=22回です。

P.S.

　ちょっとややこしい問題だと（13時間にするとか、n時間と変数で与えられるとか）、余りみたいのが出て、もう1回条件を満たすのではないかと確かめたりする必要が生じたりします。
　しかし、示された問題だと、スタートの0時で長針と短針がぴったり重なっており、終了の12時でも長針と短針がぴったり重り、120度が360度のちょうど1/3であるため、簡単な計算で済みます。

お礼

大変詳しいご回答、ありがとうございます。

補足

いわゆる相対速度として見ると良いということですね、実際に計算してみて納得いたしました。

回答No.1

noname#222867

距離に置き換える

二人が違う速度で360mをはしります
ひとりは分速1メートル
もう一人は分速5/60メートル
速度の速い人はゴールすると次の人がスタートラインから走ります

速度の速い人と遅い人の相対距離が120mと240mになる回数は、速度の速い人が12回走るのに何回あるでしょうか？

単純な最小公倍数や、中学の数学やな

速い人がスタートラインの時点で条件を満たすケースが

4回目と8回目にある

これが除外条件やな

これなら等速直線運動の数式で簡単や

お礼

ご回答、ありがとうございます。

補足

いわゆるダイヤグラムとして見ると良いということですね、実際に描いてみて納得いたしました。