中学受験の算数 時計の問題です。

質問

午前０時から正午までの間に時計の長針と短針の作る角度が９０度になることを考えます。

長針と短針が９０度になる時刻を全て加えると何時間何分何秒になりますか。

答えは、１３２時間０分０秒です。

地道に長針と短針が９０度になる時刻を出し、それらを足し合わせる方法ではないやり方を教えてください。わかりません！

回答No.3

noname#227653 · ベストアンサー

まず、0時から正午までの間で時計の針が何回重なるか考えてみて下さい。
まず0時ちょうどのとき、長針と短針は重なってますね。
次に1時ちょっと過ぎに重なるでしょう。1時5分と10分の間くらいのときです。
次は2時10分過ぎに重なります。
次は3時15分過ぎに重なります。
こう考えていくと、0時台、1時台、2時台、3時台と続いていって、9時台にも重なるし、10時台にも重なります。しかし11時台には重なりません。
11時のあと、時計の針の動きを確かめて下さい。長針が短針に追いついたときはもう12時ちょうどになってしまっています。
というわけで、0時台から10時台までの11回（10回ではありませんよ。0が入っていますから11回です）と、12時ちょうど（つまり正午）で12回ですね。

次に、0時から正午までの間で、長針と短針の角度が90度になる回数を考えます。
まず、0時に時計の針が重なったあと、次に重なるまでの間に、90度になる回数は２回です。0時15分過ぎと、45分過ぎですね。
そして、次に重なってからさらにその次に重なるまでの間にも、90度になる回数は２回あります。1時5分過ぎに重なったあと、1時20分すぎと1時50分過ぎですね。
その次は、2時10過ぎに重なった後、2時25分過ぎと3時ちょうどの２回、90度になります。
同じように、時計の長針と短針が重なってから、次に重なるまでの間に、90度になる回数はいつも2回です。

そしてさっき、0時から正午までに長針と短針の重なる回数は12回と出しましたね。
ですからその間は11あります（植木算ですね）。
そしてその11の間のそれぞれに、90度になる回数は2回ずつありました。
だから、90度になる回数の合計は11×２で22回です。

ここまでが第一段階です。

次に、この22回を2回ずつのペアにします。
どういうペアにするかというと、時計の12と6を結ぶ線をはさんで対称になるになるものを組んでペアにするのです。
たとえば、0時15分過ぎと11時40分過ぎです。図を描いてみれば、左右対称になっているのがわかるでしょう
0時45分過ぎと11時10分過ぎも左右対称です。
3時と9時なんかはわかりやすいですね。
このように、左右対称になるものをペアにすると、11個のペアができます。22÷2で簡単に分かりますから、ひとつずつ調べる必要はありません。

そして、おもしろいことに、このペアになっているふたつの時刻を足すと必ず12時間になるのです。
たとえば、0時15分過ぎと11時40分過ぎで考えてみましょう。
0時15分過ぎの時計の図を描いてみて下さい。そして、0時から短針が動いた角度に名前をつけましょう。何でもいいのですが、ここでは△度としておきます。短針は0時から△度動きました。
次に、11時40分過ぎの図を描いてみましょう。そして、この時の短針が0時から（0時からですよ。11時からではありませんよ）動いた角度をよく見て下さい。そうするとこれが、360度より△度だけ少ないことがわかるでしょう。
ということは、0時15分過ぎと11時40分過ぎのふたつをあわせると、△度と360－△度を足すのですから、短針は360度動いていますね。そして、短針が360度動いたということは、ふたつあわせて0時から12時間かかったということです（短針が１周すると12時間ですからね）。

ここで基本を確かめておきましょう。「時刻」というのは「0時から何時間何分かかったか」ということなのです。例えば3時20分という「時刻」は「0時から3時間20分かかった」ということをあらわしています。
だから、「ふたつあわせて0時から12時間かかった」ということは、「ふたつの時刻の合計が12時間だ」ということと同じなのです。
3時と9時ならだれでも簡単に「合計で12時間」とわかりますが、他のペアも、足すと12時間になるのです。

そして、ペアは11組あるのですから、時間の合計は12時間×11組で132時間ということになりますね。

以上がこの問題の解き方です。いかがでしたか。

ただ、この問題は等差数列の和として解くこともできます。
ここで説明した解き方がわかりにくいようであれば、等差数列の和として解く方法を説明しますので補足をつけて下さい。

お礼

詳しい説明をありがとうございました。よくわかりました。

回答No.2

noname#227255

ANo.1のどうでもいい（？）訂正です。

1行目
誤：「午前3時と午前9時に着目ます」→正：「午前3時と午前9時に着目します」

回答No.1

noname#227255

まず、午前3時と午前9時に着目ます。
これらは、鏡に映したように左右対称な状態であり、これらの時刻を加えると3+9=12時間になります。
これが、全ての場合について言えるかというと、午前0時から午前2時までの間、午前3時から午前9時までの間、午前10時から正午までの間については、1時間ごとに2回ずつ長針と短針の作る角度が90度になりますが、午前2時から午前3時直前までの間、午前9時直後から午前10時までの間については、1回ずつしか長針と短針の作る角度が90度になりません。
よって、答えは、12*12=144時間ではなく、12*11=132時間(0分0秒)になります。

お礼

とてもよくわかりました。ありがとうございました！