中２数学の三角形問題

質問

問題は画像に乗ってます。英語に通訳/説明してもらえれば助かります。答えは日本語でいいです：）ありがとうございます。

回答No.3

noname#222520

(i)
三角形ABCの面積Sは、S=AB*CE/2=AC*BD/2
AB=ACであるから、CE=BD
直角三角形ABDにおいて、三平方の定理から、AD=√(AB^2-BD^2)
同様に、直角三角形CAEにおいて、AE=√(AC^2-CE^2)
AB=AC、CE=BDであるから、AD=AE
よって、直角三角形ABDと直角三角形ACEは、3辺の長さがそれぞれ等しく合同
（△ABD≡△ACE）

(ii)
△ABD≡△ACEであるから面積は等しく、直角三角形BCEと直角三角形CBDの面積も等しくなり、三角形BCFはそれぞれに共通するので、直角三角形BFEの面積と直角三角形CFDの面積も等しくなる
AB=AC、DA=EA（△ABD≡△ACE）であるから、EB=DC
直角三角形BFEの面積はEB*EF/2、直角三角形CFDの面積はDC*DF/2であるから、
DF=EF

回答No.2

noname#252159

[解答[
ΔABD と △AC E において
二等辺三角形の定義より
辺AB =辺AC (1)
共通な角より
角BAC= 角CAE (2)
垂線より
角ADC=角AEC (3)
(1)、(2)、(3)より
直角三角形の斜辺と1鋭角がそれぞれ等しいから
△ABD≡△ACF

(2)

この問題のために、2段階で証明する。
(最初に)
△EBCとΔDCBにおいて共通な辺より
BC=CB (4)
垂線より、
角BEC=角CDB (5)
二等辺三角形ΔABCの2つの底角は等しいから
角EBC=角DCB (6)
(4)、(5)、(6)より
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから
△EBC≡△DC B
∴EB=DC (7)

(次に)
ΔDCFとΔEBFにおいて
問(1)の結果から
角DCF=角EBE (8)
垂線より、
角CDF=角BEF (9)
対頂角より
角DFC=角EFB (10)
(8)、(9)、(10)より
ΔDCF≡△EBF
よって、角DBC=角ECB (11)
辺FB=辺F C (12)

(11)より、ΔFBCは底角が等しいから二等辺三角形
よって、辺FB=辺FC (13)

(12)、(13)よりDB-FB = EC-FC
DF = EF

回答No.1

noname#252159

【Problem】
For an isosceles triangle given AB=AC, draw 2 perpendicular lines from point B to side AC and from point C to side AB. Name a point of intersection of side BD and side CE as point F.
(1) Verify( or Prove) that △ABD≡△ACE
(2) Veify( or Prove) that DF=EF

【Solve】
(1)
Considering △ABD and △ACE,
from the definition of an isosceles triangle
side AB= side AC (1)
as a common angle
angle BAC= angle CAE (2)
as perpendicular lines,
angle ADC= angle AEC (3)
by (1)(2)(3),
the hypotenuse and an acute angle of a right triangle are equal to corresponding side and angles of another triangle.
So, △ABD≡△ACF

(2)
For this problem, we need 2 steps.
(1st)
Considering △EBC and △DCB
as a common side,
BC=CB. (4)
as perpendicular lines,
angle BEC=angle CDB =90 (5)
as 2 base angles of an isosceles triangle △ABC,
angle EBC= angle DCB (6)
by (4)(5)(6)
the hypotenuse and a leg of a right triangle are equal to the corresponding sides and angle of another triangle.
So,
△EBC≡△DCB
∴ EB=DC (7)

(2nd)
Considering △DCF and △EBF,
from the result ofproblem (1) ,
angle DCF = angle EBF (8)
as perpendicular lines,
angle CDF = angle BEF = 90 (9)
as an opposite angles,
angle DFC = angle EFB (10)
by (8)(9)(10)
△DCF≡△EBF
so , angle DBC= angle ECB. (11)
side DB = side EC. (12)

by (11) △FBC is an isosceles triangle,
so side FB = side FC (13)

By (12) and (13),
DB - DF = EC- FC
∴ DF = EF