数学の問題の一部なのですが、わからないことがあるので質問させていただき

質問

数学の問題の一部なのですが、わからないことがあるので質問させていただきます。

見やすくするために絶対値記号を[]で表すことにします。

下ではa＞1,p,q＞0です。

P(p,a/p),Q(q,1/q)と原点O(0,0)があり、△OPQの面積が３のときに、

1/2[(p・a/q)－(q・1/p)]＝3

となんの断りもなく解答には書かれているんですけど、これは何かの公式でしょうか？

そうならどの分野(？)の公式なのか教えてもらえないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

それこそ、もともとは「底辺×高さ÷２」の公式なのですが・・・

ひとつは、ベクトルで考えれば、この式は導き出せます。
OP→と OQ→とで囲まれた三角形の面積を考えます。

もうひとつは、考えている三角形を取り囲むような長方形から、
角にある三角形を差し引く形で考えても面積は求められます。
ただ、いまの場合であれば aと bの大小関係を一度置いて考えないとだめかと。

一つ目の考え方を押えておくと、ベクトルの問題でも使えるのでいいかと思います。

お礼

あ…ああ！
ありがとうございます！

成分表示されたベクトルの三角形の面積ですね！

こんなことに気づけなかったなんて…

回答ありまがとうございました。すっきりしました。

回答No.3

girlkeeper

公式としてあったような気もするけど、次のように解釈することもできます。

ベクトルOP＝(p,a/p)にｚ成分を加えて(p,a/p，０)とする（ｘｙ平面上なのでｚ座標はゼロ）。同様にベクトルOQも３次元化する。

ベクトルOP＋ベクトルOQ＝ベクトルORとするとOPRQは平行四辺形なので、
その面積はベクトルOPとベクトルOQの外積の大きさに等しい。つまり△OPQの面積は
この外積の大きさの１／２。
ベクトルOPとベクトルOQの外積は（０，０、ｐ・1/q－ｑ・a/q）
なので、その大きさは　［ｐ・1/q－ｑ・a/q]　

△OPQ=3　なので　1/2[(p・1/q)－(q・a/p)]＝3
（質問の文はミスタイプか何かでしょう）

お礼

回答してもらったのに申し訳ないのですが、外積は使えないんです。

マーク式の入試なら可能ですけど…

でも細かくありがとうございます。参考にさせてもらいます。

回答ありまがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

学校でベクトルの外積は習っていませんか？
　△OPQの面積についての式は、これを利用しています。
　　△OPQ=(1/2)[ (Pのx座標)(Qのy座標)-(Pのy座標)(Qのx座標)]　　（ただし、[]は絶対値を示す。）

http://www.cfv21.com/math/triarea2.htm　の後半部分

　ベクトルの外積は空間図形に対して使うものですが、この原点O、P、Qが含まれる平面を空間における１つの平面と見なして、三角形の面積を求めるものです。

お礼

外積ですか…書き忘れてしまったのですが、私はまだ高校生です。

なのでまだ習っていません（トップの高校なら教えてるのかもしれませんが…）

回答ありまがとうございます。URLを参考にしてみます。