直線x=aに対して線対称であればf'(a)=0

質問

y=f(x)のグラフが直線x=aに関して対称であれば f'(a)=0であることを示せ。

全ての実数xに対して、
f(a-x)=f(a+x)
が成り立つ。この両辺をxで微分すると、
f'(a-x)・(a-x)'=f'(a+x)・(a+x)'
より、-f'(a-x)=f'(a+x)
これは全ての実数xに対して成り立つから、x=0を代入して、
-f'(a)=f'(a)より、f'(a)=0

(1)f(a-x)=f(a+x)の変数xは、直線から左右に距離|x|離れた場所をa-x,a+xとされています。
その一方で、直線x=aの変数xは、x軸とy軸の交点から距離|x|離れた場所をxとされています。
場所が違うにも関わらず、両者は同じxを用いています。これで良いのでしょうか？本来ならば、f(a-t)=f(a+t)のように違う変数を用いるべきではないのでしょうか？

(2)-f'(a-x)=f'(a+x)とありますが、本来なら、
- df(a-x)/d(a-x)=df(a+x)/d(a+x)
のはずです。「何で微分したか」が違いますが、同じ数のように扱って良いのでしょうか？a-xの値域とa+xの値域が合致するからでしょうか？

回答No.2

178-tall

錯誤訂正。

全ての実数xに対して
　f'(a-x) = -f'(a+x)
が成立。

特に、x=0 のとき
　f'(a) = -f'(a)
つまり、
　f'(a) = 0

お礼

回答ありがとうございました。
自己解決しました。

回答No.1

178-tall

>y=f(x)のグラフが直線x=aに関して対称であれば
　　↓
>全ての実数xに対して、
>f(a-x)=f(a+x)
>が成り立つ。
　　↑
これは OK らしいですね。

… ならば微係数のほうは？

全ての実数xに対して
　f'(a-x) = -f'(a+x)
が成立。
特に、a=0 のとき
　f'(a) = -f'(a)
つまり、
　f'(a) = 0

お礼

回答ありがとうございました。