大学数学、積分

質問

次の積分ができません。解説をお願いします。

∫{(1-x)/(1+x)}^(1/2) dx

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

No.1です。間違えてました。
∫{(1－x)/(1＋x)}^(1/2)dx　　(－1＜x≦1)

分母と分子に(1－x)^(1/2)をかけて
∫(1－x)/(1－x^2)^(1/2)dx
＝∫{(1/(1－x^2)^(1/2)－x/(1－x^2)^(1/2)}dx
＝arcsin(x)＋(1－x^2)^(1/2)＋Ｃ

回答No.6

alice_44

置換積分をする際の間違いは、
まさに置換を行うときに起こりやすい。
数式処理ソフトウェアを使う際の間違いは、
画面を転記するときに起こりやすい。
どちらも注意が必要だ。

置換のやり直しも、いい計算練習になるよ。

回答No.5

info22_

#2です。

A#2に転記ミスが有りましたので訂正します。
誤：=√(1-x^2) -2tan^(-1)((1-x)/(1+x)) +C
正：=√(1-x^2) -2tan^(-1)(((1-x)/(1+x))^(1/2)) +C ...(★)

なお、(★)とA#4の積分結果は共に正しいです。

つまり　
定義域　-1＜x≦1の下で

-2tan^(-1)(((1-x)/(1+x))^(1/2))=sin^-1(x) -(π/2)
という関係にあるので

(★)は
=√(1-x^2)+sin^(-1)(x)-(π/2)+C
=√(1-x^2)+sin^(-1)(x) +C'

と変形できるから
A#4の積分結果とおなじになります。

回答No.3

alice_44

A No.1 は、冒頭の

∫ {(1-x)/(1+x)}^(1/2) dx
= ∫ 4/(t^2+1)^2 dt

のステップが残念。

回答No.2

info22_

√内≧0より　-1＜x≦1

∫{(1-x)/(1+x)}^(1/2) dx
=√(1-x^2) -2tan^(-1)((1-x)/(1+x)) +C

となります。

正しいかは
積分結果を微分すれば被積分関数になることで確認できます。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

{(1+x)/(1-x)}^(1/2)=tとおく。
x=(t^2-1)/(t^2+1)、
dx=4t/(t^2+1)^2 dtより

∫{(1-x)/(1+x)}^(1/2) dx
=∫4/(t^2+1)^2 dt
=4∫{1/(t^2+1)-t^2/(t^2+1)^2} dt
=4{arctan(t)+t/2(t^2+1)-∫1/2(t^2+1) dt}
=4{arctan(t)+t/2(t^2+1)-∫1/2(t^2+1) dt}
=4{arctan(t)+t/2(t^2+1)-1/2*arctan(t)}
=2{arctan(t)+t/(t^2+1)}
=2arctan[{(1+x)/(1-x)}^(1/2)]+2{(1-x^2)}^(1/2)