積分範囲の移動

質問

∫(2/3→2)(3x-2)(2-x)dx 、積分する範囲は2/3から2です。この定積分を下端が0になるようにしてから計算する際、間違った計算方法の、間違いを指摘していただく質問します。
間違った計算方法は、3x-2=Xと置いてx=(1/3)(X+2) 、2/3≦(1/3)(X+2)≦2より0≦X≦4　x=(1/3)(X+2)を(2-x)に代入して、∫(2/3→2)(3x-2)(2-x)dxを
∫(0→4)X{-(1/3)x+4/3}dXとするのは間違いでした。計算結果は32/9。
正しい計算方法は、3∫(2/3→2)(x-2/3)(2-x)dxとし、x-2/3=Xとおいて、x=X+2/3、上記と同様に計算して、0≦X≦4/3、∫(2/3→2)(3x-2)(2-x)dx＝3∫(0→4/3)X(4/3-X)dXとする計算でした。計算結果は32/27。
間違った計算は、どこで間違えたのか教えてください。お願いします。

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

置換積分において、dxもdXに変換しなければなりません。
この場合、3x-2=X ですから、3*dx=dX です。
I=∫[0~4]X*{2 - (2+X)/3}*(dX/3)=32/27.

お礼

置換積分だとは、気付かなったです。ご指摘ありがとうございます。