数列の和の問題です

質問

数列の和の問題です

Σ［k=1→n］k/(k+1)(k+2)(k+3)

を求めたいのですがどうすればいいでしょう？

ご教授お願い致します

回答No.1

natto4968128 · ベストアンサー

部分分数分解の問題です。

数列の和が求まるときは
その数列が等差数列、等比数列、階差数列のいずれかに帰着できます。
ここでは前二つが無理なので階差数列に持ち込みたいと思います。
階差数列では、第k項をｆ(k)ーｆ(k+ｐ)（pは定数）と表せることが大切で、これによってn項までの和が途中が消えることにより簡単にもとまります。
今回は
k/(k+1)(k+2)(k+3)={k/(k+1)(k+2)－(k+1)/(k+2)(k+3)}+1/2{1/(k+1)(k+2)－1/(k+2)(k+3)}
というようにｆ(k)ーｆ(k+1)+g(k)ーg(k+1)と表せました。
1項からnこうまで足すと、
それぞれ最初のこうと最後のこう以外が順番に消えて(順番に書き出してみてください)
1/4+(2n+1)/2(n+2)(n+3)ともとまります。

お礼

回答ありがとうございました！

二項だけで部分分数分解しようと固執し過ぎて、出来ませんでした……

そういうパターンもあるのですね！
とても勉強になりました！

本当に助かりました、ありがとうございました！