m^2=(b/2a)^2はどこから出てきたのか？

質問

今「論理的思考の基礎が身につく　中学数学」をやっているのですが、

http://okwave.jp/qa/q9112800.html

↑の以前回答してくださった際に

>したがって、m^2=(b/2a)^2を補ってあげなくてはなりません。

と書いてあったのですが、このm^2=(b/2a)^2はどこから出てきたのですか？

m^2はb^2/a^2ではないのですか？

さっぱりわかりません。もうちょっとやさしく教えてください。

回答No.2

noname#221359 · ベストアンサー

(x+m)^2=x^2+2mx+m^2　に持っていくという思考は同じです。

ax^2 + bx + c = 0 を　何とかして、 ( x + m )^2の形、つまり２乗の形に持っていこうとしている訳ですね。そのために式を変形してやるわけですが、

A = B のときに、A + C = B + C となることは理解できるでしょうか。
例えば３＝３のときに、３＋５＝３＋５としても、等号は成り立つ訳です。

つまり式の関係性を維持しながら、式の変形を行っていくわけです。
ですから、例えば　３＝３のときに、３＋４＝３＋５とはならない訳です。
必ず両辺に等しい数字、等しい代数を足してあげる必要があります。
もちろん、足してあげる数が負の数ということもあり得ます。
例えば、３＝３のときに、３－２＝３－２ということもありますよね。

ココまで理解できました？
すると
『(2)両辺からa/cを引き、左辺を()^2の形にするため、両辺にb^2/4a^2を足す』
というのは、上のような式変形の一種の操作であることが分かったと思います。
両辺から a / c を引く⇒　A ＝ Bのとき、A - a /c ＝ B - a / c ですよね？
次に進みます。

ax^2 + bx + c = 0を変形していくわけですが、
先ほど見た２乗の形と比較して、異なる部分を見ていく訳です。
x^2 + 2mx + m^2 = ( x + m )^2　
分かりましたか？

（１）まず、ax^2の形では、x^2の形にできませんね。係数のaをどうにかして取り払うか、２乗の形にしてあげることが必要です。もし、今言ったことが理解できないのなら、
ax^2 と、( ax ) ^ 2　はどう違うかを理解してください。
ax^2 = a × x × x、( ax )^2 = a^2 × x^2 = a × a × x × x ですよね。
ですから、ax^2はそのままでは２乗の形にはなり得ません。

（２）bxと2mxを比較すると、係数に2がついているのが分かりますね？
これについては簡単です。逆数を覚えていらっしゃるでしょうか？
覚えていなくとも、2に何をかけると１になるか、パっと出れば問題ありません。
2 × 1/2 = 1ですね。ここで確認です。
bx と 1 × bx　どう違うでしょうか？　答えは何も違わない、です。
1をかけても、何回かけようが、元の数字のままです。
３に何回１をかけても、３ですよね。これが超化学変化で途中で４に変化していたら、世紀の大発見ですよ！？
さて、bxを『「2mxのような形」※bをmに変えるという意味ではありません、あくまでも～のようなカタチ』にするにはどうすれば良いでしょうか？
そうです、2 × 1/2 × b にすれば良いんですね。これならば、2 × 1/2で１になりますから、元のbは元のまま、式が変わったように見えても、数字的には変わってないんですね。

マジシャンのマジックのようですか？ついてきていますか？

（３）最後、cを２乗の形にしてあげなければいけないのですが、cは定数でしたので、今は何もしようがありませんね。とりあえず、放っておきましょう。

ひとつひとつ長く書いてきましたが、もう少し頑張ってください。
ココからですよ。（１）～（３）を踏まえて、式の変形をします。

ax^2 + bx + c = 0
（１）で２乗の形にするには a がジャマだということを言いました。両辺をaで割ります。
x^2 + b / a x + c / a = 0
（２）で１をかけても何も変わらないことを学びました。
x^2 + {( 2 × 1/2 ) × b / a } x + c / a = 0
x^2 + { 2 × b / 2a } x + c / a = 0
x^2 + 2 ( b / 2a ) x + c / a = 0・・・（＊）
ここまで理解できました？もう一工夫が必要になります。

x^2 + 2mx + m^2 = 0　と、（＊）を比較すると、
・2m = 2( b / 2a ) ⇒ m = b / 2a　
・m^2 = c / a ⇒これ以上解けない！これってホントウのm^2 なの？

これはマズいことになりました、同じmのハズが、片方は b / 2a、もう片方は２乗の形にすら直すことができていません！
そこで、本当のm^2 を登場させます。m^2 = ( b / 2a )^2です。
( b / 2a )を２乗すると、( b / 2a )^2になりますよね？

ただ、このまま足すと、右辺にも足す必要がでます。
A + C = B + Cで、等号（等しい）を保つには、同じものを両辺に足す必要がありました。
ただ、キレイな０に何かくっつくのは、式変形上いただけない、なにか手はないものか。

こうします。A + (C - C) = B
( C - C ) = 0ですから、０を片方に何個足そうと、A = Bは変わりません。
例えば、３＝３のときに、３＋（２－２）＝３ですよね？
３＋０＋０＋０＋０＋・・・＋０＝３です。
マジシャンのマジックに似てるでしょ？だけど、これが式変形なんです。
ここまで理解できました？

x^2 + 2 ( b / 2a ) x + c / a = 0・・・（＊）
x^2 + 2 ( b / 2a ) x + {( b / 2a )^2 - ( b / 2a )^2 } + c / a = 0
{x^2 + 2 (b / 2a ) x + ( b / 2a )^2} - ( b / 2a )^2 + c / a = 0
m = b / 2a と置いてやると、※わかりやすくするため一部だけおきます
{x^2 + 2mx + m^2} - ( b / 2a )^2 + c / a = 0
( x + m )^2 - ( b / 2a )^2 + c / a = 0
※mはなおします。

もうひと頑張り！- ( b / 2a )^2 + c / a をまとめます。
( x + b / 2a )^2 - b^2 / 4a^2 + c / a = 0
分母を統一すると、
( x + b / 2a )^2 - b^2 - 4ac / 4a^2 = 0　となります。
後の式変形は　http://okwave.jp/qa/q9112800/a25371743.html

どう考えて式変形するか、ということについて書いてみました。
他の問題にもこの回答で触れた考え方が役立つと思います。

回答No.1

bran111

出発点はもちろん

x^2+ (b/a)x+ c/a = 0　　　　　（1）

です。

2m=b/a　つまり

m=b/2a (2)

とおいてみると（1）は

x^2+2ｍ x+ a/c = 0　　（3）

公式

(x+m)^2=x^2+2mx+m^2

と比較すると（3）の左辺の２項目までは

x^2+2mx＝(x+m)^2-m^2

となっていることが解りますか。これを（3）に代入して

(x+m)^2-m^2+c/a=0

移項して

(x+m)^2=m^2-c/a

両辺のルートをとって

x+m=±√(m^2-c/a)

x=-m±√(m^2-c/a)

(2)のm=b/2aを代入して

x=-(b/2a)±√((b/2a)^2-c/a)=-(b/2a)±√(b^2/4a^2-c/a)
=-(b/2a)±√[(b^2-4ac)/4a^2]=[-b)±√(b^2-4ac)]/2a

m=b/2a　または　m^2=(b/2a)^2は（2）から出てきました。