一般の変成器の理想を用いた変換法

質問

一般の変成器を理想変成器を用いて等価回路に変換する際においての質問です。
まず写真1番上の変成器を写真の(A)に変換する際に質問があります。一般の変成器では出力を短絡すると、2次コイルと錯交しない磁束の分によるインダクタンスである漏れインダクタンスが残ります。写真(A)の回路ではこの漏れインダクタンスはσ=L1(1-k^2)と表され、直列に繋がれている様です。次に、出力を解放した時の一次インダクタンスはL1にならなくてはいけないので、並列に繋がれたLpは、Lp=L1-σ=k^2L1になるとあります。

※ここでいくつか質問があります。
まずこの写真(A)の真ん中で向かいあっているコイルαとコイルBのインダクタンスは変換前の各々のインダクタンスL1, L2とは異なるものでしょうか？変換後の等価回路は理想変成器なので、L1とL2は∞になっているのではないかと考えています。

次にLpについてです。
Lp=L1-σ=k^2という式より、このLpは2次コイルと錯交する磁束による分のインダクタンスではないかと思います。しかし、そう考えるとなぜLpをコイルαと並列に繋ぐ必要があるのか、Lpを直接コイルβと向かい合わせてはいけないのかと思いました。そこで質問ですが、写真(A)の状態でコイルαにも電流は流れているのでしょうか？
もしそうならば、出力を解放した時の一次インピーダンスZ1=V1/I1の値は果たしてL1になるのでしょうか？
最後に、同じく写真(A)のコイルβの方には電流は流れているのでしょうか？

変成器の等価回路変換についてはまだ理解出来ていない箇所が多々ありますので、私自身誤解している点も踏まえて教えていただければと思います。

回答No.17

178-tall · ベストアンサー

>しかし、http://www.eonet.ne.jp/~jr3tgs/7k%20coil%20k.htmのページを見ると、理想変成器を含んだ回路図にて『片方の端子を短絡または開放した時、理想変成器部分は無いに等しい』という様な記述があります。
>これは一体なぜですか。

　　　↓ その引用

>２次コイルを持つコイルは下図のような等価回路で示されます。
>下図で L は自己インダクタンスです。相互インダクタンスと漏洩インダクタンスがＴ型に接続されているところに理想トランス（インピーダンス変換比が完全に巻数比の二乗になる）が入った形です。この回路で２次側をオープン / ショートしてみます。
>この場合、理想トランスは無いことと等価になりますので、理想トランスは省略して１次側からインダクタンスを観測します。

これは、出力ポートをオープン / ショートしたときの、入力ポート側から見てのハナシ。
なので、出力ポートの直前にある「理想トランス」は関係なくなる。

お礼

この質問に関して、幅広い知識を教授していただき本当に回答ありがとうございました。
教科書の内容の裏側までは、私自身の力では中々覗く事ができないので、大変助かりました。

回答No.16

178-tall

>入力ポートを開放するとI1=0になると思うのですが、するとこの状態で理想変成器の左側(Lp、σ, コイルα等)には電流が流れていないと考えていいのでしょうか。

この質問の真意は、いまだにつかめぬ。

強いていえば、σ には流れず、Lp、コイルα には流れる … ということ？

回答No.15

178-tall

ANo.14 はピントずれだった。

>入力ポートを開放するとI1=0になると思うのですが、するとこの状態で理想変成器の左側(Lp、σ, コイルα等)には電流が流れていないと考えていいのでしょうか。

Z1 (σ) - Z2 (Lp) - 理想変成器 (1 : n) の [A B ; C D] は？

　[ (Z1+Z2)/(NZ2)　　Z2/N　;
　　　　1/(NZ2)　　　 N　]

入力ポート開放時 (i1 = 0) 、
　0 = CV2 + DI2
… から、出力ポートから見こんだインピーダンス W2 は、
　W2 = V2/(-I2) = D/C = (N^2)*Z2

つまり、W2 = (N^2)*Lp 。

お礼

二次側から見たインピーダンスまたはインダクタンスとは、出力インピーダンスまたは出力インダクタンスの事であり、出力側に生じるインピーダンス(V2/I2)となる点を誤解して、出力側から見て入力側に生じるインピーダンスかと考えていました。

Fパラメーターを使って考えると, 電流I2の向きを変えて、確かにW2=V2/(-I2)=n^2Lpとなる事が分かりました。

回答No.14

178-tall

>入力ポートを開放するとI1=0になると思うのですが、するとこの状態で理想変成器の左側(Lp、σ, コイルα等)には電流が流れていないと考えていいのでしょうか。

入力ポートを開放し、出力ポートに電圧を印加するわけだから、L1 の「非結合部分 L1(1-k^2) 」に電流は流れない。

>そしてこの時なぜLpのみが出力ポートから見たインダクタンスに含まれるのでしょうか。残ったσ=(L1-M)等については、出力ポートから見たインダクタンスに含まれないのでしょうか。

非結合部分 L1(1-k^2) は含まれないでしょうネ。

お礼

非結合部分のL1(1-k^2)にはI1=0のため電流が流れない訳ですね。そうすると一次側のLpとコイルαには、二次側から生じた誘導電流が流れて、出力ポート側から見たインダクタンスにはLpだけでなく、コイルαのインダクタンスも含まれるのではないかと悩んでいました。
しかし、http://www.eonet.ne.jp/~jr3tgs/7k%20coil%20k.htmのページを見ると、理想変成器を含んだ回路図にて『片方の端子を短絡または開放した時、理想変成器部分は無いに等しい』という様な記述があります。
これは一体なぜですか。

質問が多くなり過ぎてしまってすみません。

回答No.13

178-tall

>添付した写真(A)に関して、教科書に
>『二次側からみたインダクタンスは一次側を開放しL2となる。従ってL2=n^2Lp=(n^2)(k^2)L1となる。』と書かれています。　まず、ここで言う二次側からみたインダクタンスの意味が良く分かりません。これは一次側から生じる相互インダクタンス等を全て取り去った二次コイルのみのインダクタンスの事を指すのでしょうか。

写真 (A) にて『二次側からみたインダクタンス… 』 といえば、入力ポート開放時に出力ポートから見こんだインダクタンス、つまり理想変成器出力ポートから見こんだ Lp = (k^2)L1 なのでしょう。

その値は、
　(n^2)*(k^2)L1 = { M^2/(L1L2) }L1
のはず。

　n^2 = (L2/M)^2
だから、
　(n^2)*(k^2)L1 = (L2/M)^2{ M^2/(L1L2) }L1 = L2
という勘定。

お礼

すみません、私の質問の内容が具体的でなかったです。
まず入力ポートを開放するとI1=0になると思うのですが、するとこの状態で理想変成器の左側(Lp、σ, コイルα等)には電流が流れていないと考えていいのでしょうか。
そしてこの時なぜLpのみが出力ポートから見たインダクタンスに含まれるのでしょうか。
残ったσ=(L1-M)等については、出力ポートから見たインダクタンスに含まれないのでしょうか。

回答No.12

178-tall

>図8.10(b)のT型回路に右方に付加したのは理想変成器T1{L2:M}, 最後の逆Γ型回路の右方に付加したのは理想変成器T2{M:L2}という事で、図8.24(a)に書かれているM:L2と合致する事が分かりました。このT2{M:L2}のMの値はANo.3のN=M/L2より M=NL2で合っていますか。

合ってます。

>そうするとT2の比は{M:L2}={N:1} になると思うのですが、私の添付した写真の回路(A)では比が{1:N}になっています。これは、T2{M:L2}のN=M/L2をひっくり返して新たにN=L2/Mとおき{1:N}とすれば良いのでしょうか。

M : L2 = 1 : L2/M = 1 : N で OK 。

お礼

いつも本当に助かっています!!
確かにM:L2=1:L2/M=1:Nになりました。
そして一般の変成器を等価回路に変換する流れは大体理解できたと思います。
ここでこの等価回路に変換した後で、いくつかまた質問があります。
私の添付した写真(A)に関して、教科書に
『二次側からみたインダクタンスは一次側を開放しL2となる。従ってL2=n^2Lp=(n^2)(k^2)L1となる。』と書かれています。
まず、ここで言う二次側からみたインダクタンスの意味が良く分かりません。これは一次側から生じる相互インダクタンス等を全て取り去った二次コイルのみのインダクタンスの事を指すのでしょうか。
つまり、L2=(n^2)*(k^2)*L1とは、この写真(A)のコイルβ(二次コイル)のインダクタンスに相当するのでしょうか。

回答No.11

178-tall

ANo.3 の等価変換では、図8.10{b) の T 形回路 {L1-M} - {M} - {L2-M} の右方に理想変成器 T1 {L2 : M} を付加して逆Γ形回路 { L1(1-k^2) } - { (k^2)L1 } を得てます。

出力ポートの等価性を保つため、理想変成器 T1 の付加を相殺する理想変成器 T2 {M : L2} を右端に付加したのが図8.24{a) の回路。

お礼

回答ありがとうございます。
図8.10(b)のT型回路に右方に付加したのは理想変成器T1{L2:M}, 最後の逆Γ型回路の右方に付加したのは理想変成器T2{M:L2}という事で、図8.24(a)に書かれているM:L2と合致する事が分かりました。このT2{M:L2}のMの値はANo.3のN=M/L2より M=NL2で合っていますか。
そうするとT2の比は{M:L2}={N:1} になると思うのですが、私の添付した写真の回路(A)では比が{1:N}になっています。これは、T2{M:L2}のN=M/L2をひっくり返して新たにN=L2/Mとおき{1:N}とすれば良いのでしょうか。

回答No.10

178-tall

>図8.10(b)の等価回路へ　…　T型回路の右側に理想変成器(2つの向かい合ったコイル)をくっ付けて、左側の直列素子(L2-M)が、"Norton Transformation"の上の図の素子Y=(1/Z)のZになるように設定するという事でしょうか。
>次に、このT型回路+理想変成器の回路の(L2-M)=Zを含んだ理想変成器部分(右側)のみを、(Z1,Z2,Z3)からなるπ型回路に変換するのでしょうか。
>そして、Nを調整しZ1=-MとおくとT型回路に元々あったMと打ち消し合って0になり、残った直列に繋がった(L1-M)とZ2は合わせて(1-k^2)L1となり、右側に残った並列に繋がったZ3はk^2L1となるという事でしょうか。

そのとおり。

Norton Transformation Equivalent Circuits の算式を利用するには、ANo.3 の勘定をなぞればよい。

お礼

直列枝(L1-M)+Z2, 並列枝Z3=k^2L1からなる逆Γ形の回路が残る事が分かりました。
そうすると、この逆Γ型回路の右側に単に理想変成器を取り付けると図8.24(a)の回路にたどり着くという事でしょうか。
最初に、図8.10(a)の(これは恐らく一般の)変成器を図8.10(b)のT型回路に変換し、ここで新たに右側に理想変成器を取り付けて、この回路の右側をπ型変換した結果、逆Γ型回路が出てきたと考えています。ここでさらにもう一個理想変成器を取り付けて、図8.24(a)の回路に至るという事は、等価変換の過程で、理想変成器は何個追加で取り付けても、変換の等価性は崩れないという事でしょうか。

回答No.9

178-tall

>Norton Transformation Equivalent Circuitの上下の図についてFパラメータが用いられていますが、上の図についての質問です。まず(1,1)成分と(2,2)成分は原図が理想変成器である事から(1,1)成分: V1/V2 [I2=0] =1/N, (2,2)成分: I1/I2 [V2=0] =Nとなるのでしょうか。
>次に(1,2)成分は、 V1/I2 [V2=0] = Z, (2,1)成分は I1/V2 [I2=0] =0となっていますが、なぜこのようになるのでしょうか。例えば(1,2)成分について、V1/I2[V2=0]を求めようと思うのですが、原図の右側N^2Rの所を短絡しV2=0とした後、V1, I2をそれぞれどのように求めたら良いのかが分かりません。

梯子形回路の場合、枝ごとの縦続行列表示式を書いて行列積を勘定するのが最簡かも…。

上の図 Y 枝なら、
　V1 = V2 + (1/Y)I2
　I1= 　　　　　 I2
から、
[ 1　1/Y ;
　0　 1　]
を得る。

上の図 Y - T (1 : N) の縦続行列は、
[ 1　1/Y ;　　　　[ 1/N　0 ;
　0　 1　]　と　　　0　 N　]　の積。

下の図 Π 部分の縦続行列は、
[　1　　　　0 ;　　　　 [ 1　N/Y ;　　　[　　1　　　　0 ;
　Y(N-1)/N　1　]　と　　 0　 1　]　と　　Y(1-N)/N^2　1　]　の積。

両者は一致するはず。

お礼

前回答に関連して、Fパラメーターについて詳しく教えていただきありがとうございました。
"Norton Transformation equivalent Circuits" の上下図のFパラメーターは、それぞれ直列枝と並列枝に分解する等して、行列の積で表される事が分かりました。そして上下の図が等価回路であるためには、[Fa]=[Fb]となり、下の図の3つの素子をY表示からZ表示(Z1, Z2, Z3)と置き換えると、Z1=NZ/(N-1), Z2=NZ, Z3=N^2/(1-Z)となる事も分かりました。

この後図8.10(b)の等価回路へと話が移って行きますが、この流れについて教えてください。
まず、図8.10(b)のT型回路の右側に理想変成器(2つの向かい合ったコイル)をくっ付けて、左側の直列素子(L2-M)が、"Norton Transformation"の上の図の素子Y=(1/Z)のZになるように設定するという事でしょうか。

次に、このT型回路+理想変成器の回路の(L2-M)=Zを含んだ理想変成器部分(右側)のみを、(Z1,Z2,Z3)からなるπ型回路に変換するのでしょうか。

そして、Nを調整しZ1=-MとおくとT型回路に元々あったMと打ち消し合って0になり、残った直列に繋がった(L1-M)とZ2は合わせて(1-k^2)L1となり、右側に残った並列に繋がったZ3はk^2L1となるという事でしょうか。

回答No.8

178-tall

>… ならば、Transform 5.1 にて Z1/(r-1) を削除した形からスタートする「等価変換」を考えておけばよい？
>その結果の Π 形は、Z1/(1-r) - Z1/r - Z1/{ r(r-1) } らしい。

更なる蛇足です。

「Transform 5.1 にて Z1/(r-1) を削除した形」 ( Network の Z1 - T(r : 1) 部分 ) の縦続行列は、
　[ 1　Z1 ;　　　 [ r　0 ;
　　0　 1　]　と　　0　1/r ]　の積、つまり、

　[ r　Z1/r ;
　　0　 1/r　]　　… (1)

「結果の Π 形」 ( Transformed network は W1 - W2 - W3 からなる Π 形 ) の縦続行列は、
　[ 1　W1 ;　　　 [ 1　　0 ;　　　 [ 1　W3 ;
　　0　 1　]　と　　1/W2　1 ]　と　　0　 1 ]　の積、つまり、

　[　　(W2+W3)/W3　　　　　　W2 ;
　 (W1+W2+W3)/(W1W3)　 (W1+W2)/W1　]　　… (2)

(1), (2) を等置し、
　[ A　B ;
　　C　D　]
とでもすれば、
　B → W2 = Z1/r
　A → r-1 = W2/W3 → W3 = Z1/{ r(r-1) }
　D → (1-r)/r = W2/W1 → W1 = Z1/(1-r)
を得る。
( 受動 2 ポートなので各行列式値 = 1 であり、C = (W1+W2+W3)/(W1W3) = 0 になっている )

回答No.7

178-tall

< ANo.6
　　↓

>参考 URL 下方の図表にある
>　Transform 5.1
>　Elimination of a step-down transformer

　　↓ 蛇足

・ Network と Transformed Network が等価なことは、縦続行列を対照すれば確認可。

・ Example 3.
　Example of transform 5.1　をみると「？」。
　実はこの Example 、Network の 10C1 のうち C1 だけ残して、Transform 5.1 を適用したもの。
　Transform 5.1 にて、Z1=C1, r=1/10 のケースに相当し、結果が C1 - 10C1 - 90C1 の Π 形になる。

… ならば、Transform 5.1 にて Z1/(r-1) を削除した形からスタートする「等価変換」を考えておけばよい？
その結果の Π 形は、Z1/(1-r) - Z1/r - Z1/{ r(r-1) } らしい。
確認してみて。