複雑?な磁気結合回路について

質問

┌┐　┌-┬-a
│(1)　(2) │
│└┬┘│
●　(3)　 (4)
└─┴─┴-b

上のような回路で、
●は交流電圧源E、上方向が+です。
1はコイルL、・はコイルの上側についています。
2もコイルL、・はコイルの下側についています。
3と4は抵抗Rです。
また、2コイル間の結合係数kは0.5です。
電流Irが4番の抵抗に上から下に流れているとします。
ここまで述べた"上"や"下"は上の回路図での、その対象物に対しての上下を表しています。

この回路について、
(1)2コイル間の相互インダクタンスを求めよ。
(2)電流Irを求めよ。
(3)端子ab間を短絡したときの短絡電流を求めよ。
(4)端子abにおけるテブナンの等価回路を求めよ。

という問題なのですが、
(1)は
相互インダクタンスM=k√(L*L)より

M=L/2

となったのですが、
(2)以降がわからないです。
コイル部分をL+M、-M、L+Mに分けてT型等価回路に変換しようともしたのですが、途中でわからなくなってしまいました。
どなたか教えていただけたらうれしいです。
お願いします…

回答No.1

foobar · ベストアンサー

私がその先解くとしたら、

2.
電源、L1,(3)の抵抗を流れるループ電流I1,
(3)の抵抗、L2,（４）の抵抗を流れるループ電流I2(=Ir)
を考えて、キルヒホッフ第二法則にしたがって連立方程式（電圧方程式）をたてて（その際、L1,L2の誘導電圧の向きに注意する）、解く。

3.
2.の結果で(4)の抵抗=0と置いて、電流を計算

4.
ab間開放(I2=0)でのab間電圧を求めて、3.の結果を利用して、等価回路を算定

T型等価回路を用いる場合には、4.の等価回路を先に求めて、2,3の計算に進むほうが楽なように思います。

補足

(2)と(3)についてやってみましたが非常に自信がないです…

電源、(1)のコイルL、(3)の抵抗Rを流れる電流をI1、(2)のコイルL、(3)・(4)の抵抗Rを流れる電流をI2とする。

(2)
回路方程式は、
E=V1+R*(I1-I2)…(i)
0=-V2+R*I2+R*(I2-I1)…(ii)

ここで、V1は(1)のコイルLに現れる電圧、V2は(2)のコイルに現れる電圧とし、
V1=jωL*I1 + jωM*I2
V2=jωL*I2 + jωM*I1

となり、(ii)の式から、
(R+jωM)*I1 = (2R-jωL)*I2
I1=(2R-jωL)*I2/(R+jωM)
が得られ、これを(i)式に代入して計算すると、

I2={2E*(2R+jωL)}/{4R^2 + 4jωL*R + 3(ωL)^2}

となる。

(3)
ab端子間を短絡するとI2は(4)の抵抗に流れなくなるので、(4)の抵抗を取り除いて計算すると、
回路方程式
E=V1+R*(I1-I2)…(iii)
0=-V2+R*(I2-I1)…(iv)
が得られる。

(iv)を計算すると
I1=(R-jωL)*I2/(jωM+R)　が得られ、(iii)の式に代入して計算すると、
短絡電流I=I2={2*(2R+jωL)}/3*(ωL)^2　　となる。

このようになったのですが、まず誘導電圧のとり方とそれぞれの回路方程式における誘導電圧の符号に自身がありませんでした。
それと(4)についてはせっかく教えてもらったのですが何からやればいいのかわかりませんでした…
教えていただけたらうれしいです…

回答No.5

foobar

＃４です。問題の図を読み間違えてたようです。申し訳ない。

右端の抵抗は、a,b端子より左側に接続されている（右端の抵抗がつながっているところから、さらに導線を引き出して端子につながっている）のですね。

それならば、開放電圧を計算する際に右端の抵抗をはずしてI2=0とする必要はありません（＃１，３，４の、当該部分訂正します）。開放電圧=RI2、で計算することになります。

（ここからちょっと言い訳、、４の抵抗が左側にずれて見えるのは、ブラウザでみたときのフォント幅の違いで、１から４の部品が全体に左によって表示されているためだと、勘違いしてました。今見直したら、a,b端子の左側にちゃんとT字で接続状況が明示されてました。ごめんなさい。　言い訳の終わり）

回答No.4

foobar

＃３お礼欄に関して
電圧方程式は、概ねそれで良いかと思います。（V1=,V2=の式でjwが落ちていますが、、）
で、0=V2+R*I2+R(I2-I1)　って、＃２さんお礼欄記載の式と一部符号が変わっていますよね。）

誘導電圧
自己誘導、相互誘導ともに、「・から流れ込む電流をI,インダクタンスをLとしたときに、・側を正として jwLI （瞬時値だと Ldi/dt)の誘導電圧が生じる」と統一して扱っている（整合がとれている）ので、そのV1,V2の式で良いかと思います。

”・の位置が違う場合のMの符号の取り方。”
自己誘導（L)による電圧の扱い（式）と整合していれば、OKかと思います。

(4）
開放電圧の計算では、4の部分の抵抗を外し、I2=0とします。
すると、(bを基準とする)ab間の電圧は、-V2'+R3I1になりますよね。(V2'はV2=0の式でI2=0としたときのV2)
(3)でab間を短絡したときの電流(=(等価回路の内部起電力)/(等価回路の内部インピーダンス））が求まっているので、開放電圧(=等価回路の内部起電力）と併せて、等価回路のパラメータが全て決定できます。

補足

>>開放電圧の計算では、4の部分の抵抗を外し

なぜ4の抵抗をはずすのでしょうか？
等価回路を求める際にab開放電圧を求めるのはわかるのですが、はずす意味がわかりませんでした。

回答No.3

foobar

＃２さん回答への補足欄に関して、
i,iiの電圧方程式について、
回路図を描いて、各部の電圧、電流（、電圧降下）をどの向きを正にして扱うか、きちんと矢印で記入してみるのが良いかとおもいます。
（どの向きを正にとるかで、式中の符号が変わります。補足欄の電圧方程式の間で符号が整合して無い部分があるような気がします。）

(4)に関して、
・4の位置の抵抗を取り外し(I2=0)たときに、ab間に表れる電圧を調べる。
・等価回路で、短絡電流が(3)の結果と一致し、開放電圧が上記計算値と一致するように、内部の電圧源、インピーダンスの大きさを決める。
という手順になるかと思います。

補足

→I1
┌┐　
│(1)↑V1
│└┬
●　(3)↑I2
└─┴
回路左側では上の図のようになって、
E=V1+R(I1-I2)　だと思います。
　　　　→I2
　　　┌-┬-a
V2↓(2) │
　　┬┘│
I1↓(3)　(4)
　　┴─┴-b
また回路右側では上図のようになって、
0=V2+R*I2+R(I2-I1)　になると思います。

そして、V1、V2はそれぞれ
V1=L*I1+M*I2
V2=L*I2+M*I1

よくわからなかった点は2つ。
まずコイルに現れる電圧の符号の付け方。抵抗に表れる電圧降下の向きと同じ場合は抵抗と同じ+としていいのかどうか。
次に、今回のような・の位置が違う場合のMの符号の取り方。この回路でも右側のコイルの・の位置を左と同じにし、I2を-I2として考えてもいいのか、ということです。

(4)についてですが、コイルの部分の考え方が良くわからないです…

すみませんが教えていただけたらうれしいです…

回答No.2

ojisan7

No1さんの方針でよいと思います。
T型等価回路は分からなければ無理に使うこともないでしょう。連立
方程式を解けばよいだけのことです。尚、相互インダクタンスMにつ
いては、２つのコイルの「・」の位置と両方の電流の流れから判断
して、M>0ですよね。
（３）については鳳テブナンの定理で、端子ab間に加える負荷を
０とすればよいでしょう。
（４）は（３）で既に考察済みですよね。
基本問題ですので、がんばって下さいね。(^o^)/

補足

(2)と(3)についてやってみましたが非常に自信がないです…

電源、(1)のコイルL、(3)の抵抗Rを流れる電流をI1、(2)のコイルL、(3)・(4)の抵抗Rを流れる電流をI2とする。

(2)
回路方程式は、
E=V1+R*(I1-I2)…(i)
0=-V2+R*I2+R*(I2-I1)…(ii)

ここで、V1は(1)のコイルLに現れる電圧、V2は(2)のコイルに現れる電圧とし、
V1=jωL*I1 + jωM*I2
V2=jωL*I2 + jωM*I1

となり、(ii)の式から、
(R+jωM)*I1 = (2R-jωL)*I2
I1=(2R-jωL)*I2/(R+jωM)
が得られ、これを(i)式に代入して計算すると、

I2={2E*(2R+jωL)}/{4R^2 + 4jωL*R + 3(ωL)^2}

となる。

(3)
ab端子間を短絡するとI2は(4)の抵抗に流れなくなるので、(4)の抵抗を取り除いて計算すると、
回路方程式
E=V1+R*(I1-I2)…(iii)
0=-V2+R*(I2-I1)…(iv)
が得られる。

(iv)を計算すると
I1=(R-jωL)*I2/(jωM+R)　が得られ、(iii)の式に代入して計算すると、
短絡電流I=I2={2*(2R+jωL)}/3*(ωL)^2　　となる。

このようになったのですが、まず誘導電圧のとり方とそれぞれの回路方程式における誘導電圧の符号に自身がありませんでした。
それと(4)についてはせっかく教えてもらったのですが何からやればいいのかわかりませんでした…
教えていただけたらうれしいです…