高校数学 式の計算問題

質問

以下の大学入試過去問の解説について教えてください。
f(x)=x^2+ax-5…(1)
f(h)=f(i)=0…(2)
g(x)=x^2-4x+b…(3)
g(h)=i…(4)
g(i)=h…(5)
上記の条件でaとbを求めよ。
＜解説＞
(1)(2)より解と係数の関係から
h+i=-a…(6)
hi=-5…(7)
(6)を変形して h=-a-i…(8), i=-a-h…(9)
(4)(9)より g(h)=-a-hであり、(5)(8)より g(i)=-a-i なので
g(x)=x^2-4b+b=(x-h)(x-i)-a-x…(10)　とおける。
これに(6)(7)を代入して
g(x)=x^2-(-a-1)x-5-a…(11)
(3)と(11)を比較して
-a+1=4よりa=-3
-5-a=bよりb=-2

上記解説の(10)の部分が分かりません。なぜ、(10)の式が成立するのでしょうか？
お願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>g(x)=x^2-4x+b
からg(x)はxの２次式でx^2の係数は1です。

>g(h)=-a-h、g(i)=-a-i なので
これから
g(x)=(x-h)(x-p)-a-h=x^2-(h+p)x+hp-a-h ... (※1)
g(x)=(x-i)(x-q)-a-i=x^2-(i+q)x+iq-a-i ... (※2)
が成り立ちます。
同じｇ(x)なので
　h+p=i+q, hp-h=iq-i
これを解けば
　p=i+1, q=h+1
（※1）のg(x)の式に代入すれば
g(x)=(x-h)(x-i-1)-a-h=(x-h)(x-i)-(x-h)-a-h=(x-h)(x-i)-a-x
と(10)式が出てきます。
（※2）のg(x)の式に代入しても(10)式がでてきます。

慣れれば、g(h)とg(i)の式から
g(x)=x^2-4x+b=(x-h)(x-i)-a-x…(10)
と直接おけることが分かるようになると思います。

お礼

有難うございます。思った以上に難しい式の操作でした、が、納得です。慣れれば分かるようになる…とありますので、努力したいと思います。

回答No.3

jcpmutura

g(x)=x^2-4x+b
s(x)=g(x)+a+x=x^2-3x+b+a
とする
g(h)=-a-h
だから
s(h)=g(h)+a+h=0
だから因数定理から
s(x)は(x-h)を因数に持つ

g(i)=-a-i
だから
s(i)=g(i)+a+i=0
だから因数定理から
s(x)は(x-i)を因数に持つ
h≠iであれば
s(x)は(x-h)(x-i)を因数に持つ
s(x)=x^2-3x+b+a=(x-h)(x-i)Q
となるQがある
左辺が2次式だから
右辺も2次式だから
Qは定数で
左辺のx^2の係数は1だから
Q=1
だから
s(x)=g(x)+a+x=(x-h)(x-i)
だから
∴
g(x)=x^2-4x+b=(x-h)(x-i)-a-x

h≠iの時(10)の式は成立しますが
h=iの時(10)の式は成立しません

反例)
a=-4,b=0,h=i=5
の時
g(x)=x^2-4x=x(x-4)
f(x)=x^2-4-5=(x-5)(x+1)
f(5)=0
g(5)=5

a=-4,b=-6,h=i=-1
の時
g(x)=x^2-4x-6
f(x)=x^2-4x-5=(x-5)(x+1)
f(-1)=0
g(-1)=-1

a=4,b=4,h=i=1
の時
g(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2
f(x)=x^2+4x-5=(x+5)(x-1)
f(1)=0
g(1)=1

お礼

有難うございます。確かに理解できました、が、s(x)をそのように定義することを、問題集の解説を読む前に自分で気づくのが難しいという課題が残りました。

回答No.1

f272

もしg(x)が2次式でg(h)=0かつg(i)=0だったらg(x)=(x-h)(x-i)だと思うでしょ。
それと同じことでg(h)=-a-hかつg(i)=-a-iだったらg(x)=(x-h)(x-i)-a-xだと思えるはず。

お礼

有難うございます。ただ私には難解な助言でした。