偏微分なんですが

質問

こんにちは　

(P＋n^2a/V^2)(V-nb)=nRT で
n=1のとき
P=RT/V-b - a/V^2において

(∂P/∂V)=0
(∂^2P/∂V^2)=0 とし　T、V、Pを求めよということなのですが、どうすればよいのでしょうか　Vは何とかなりそうなのですが・・・

おねがいします

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

＞　このあと・・・がわからないのです
この後は、普通の連立方程式です。まずは、

-RT/(V-b)^2+2a/V^3=0
2RT/(V-b)^3-6a/V^4=0
の2つから、V,Tを求めましょう。

式を見た感じ、Vを消去するのは大変そうなので、Tを消去してVを求めましょう。

(上の式)＋(下の式)*(V-b)/2
を計算すれば、Tが消えて、単なるVの方程式になります。

さらに、V^4(？)をかければ、Vの1次方程式になるので、これは求められると思います。

このVを-RT/(V-b)^2+2a/V^3=0にでも代入すれば、Tも求まりますね。

P=RT/(V-b) - a/V^2
にこれまでに求めたV,Tを代入すれば、Pも求まりますね。

お礼

なぜか頑張ってVを消去しようとしてました^^;

多分全部出たと思います　何度もありがとうございました(o_ _)ｏ

回答No.4

siegmund

van der Waals 状態方程式
(1)　　(P＋a/V^2)(V-b) = RT
から臨界点を求める話ですね．

T 一定として p-V のグラフを描いたときに，
極大極小を持つ(低温)場合と単調である場合(高温)との
境界が臨界点です．
極大極小では
(2)　　(∂P/∂V)_T = 0　　　　_T は T 固定の偏微分の意味
その間には必ず変曲点があって，そこでは
(3)　　(∂^2P/∂V^2)_T = 0
です．
温度を上げていって，極大極小がくっつくところが臨界点ですから，
そこでは(2)(３)が同時に成立することになります．

さて，SPU_of_HOHO さんがお礼で書かれているように
(4)　　(2)　==>　RT/(V-b)^2 = 2a/V^3
(5)　　(3)　==>　RT/(V-b)^3 = 3a/V^4
です(ちょっとみやすく書き直しました)．
(4)(5)を辺々割り算すれば，直ちに
(6)　　V-b = 2V/3　==>　V = 3b
がわかります．
(6)を(4)に代入すれば
(7)　　T = 8a/27Rb
が得られ，最後に(1)に(6)(7)を代入して
(8)　　P = a/27b
が求まります．

お礼

ヒントをいただきながら自分で解いた(とはいわないですが)結果と同じになりました^^;

臨界点に関することまで記載していただいて・・・ありがとうございました<(＿ ＿)>

回答No.2

eatern27

#1です。普通の微分は分かりますか？

(本当はTも変数なのですが)、Tは定数だと思って
P=RT/(V-b) - a/V^2
をVで微分してください。

できましたか？

できたのなら、それが、∂P/∂Vです。
同様にTを固定して∂P/∂VをVで微分したものが∂^2P/∂V^2です。

お礼

再度ありがとうございます

∂P/∂V=-RT/(V-b)^2+2a/V^3=0
∂^2P/∂V^2=2RT/(V-b)^3-6a/V^4=0

まできました・・・　このあと・・・がわからないのです

回答No.1

eatern27

Rは定数(気体定数)と思っていいんですよね？

P=RT/(V-b) - a/V^2
(∂P/∂V)=0
(∂^2P/∂V^2)=0
の3つの方程式があって、未知数がV,P,Tの3つですから、連立方程式と思って解けば、答えが出てきますよね。

＞Vは何とかなりそうなのですが・・・
Vが何とかなれば、このVを(∂P/∂V)=0に代入すれば、Tが求まります。さらに、V、TをP=RT/(V-b) - a/V^2に代入すれば、Pも求まりますよね。

お礼

ご回答ありがとうございました

V・・・なんとかなりませんでした(T-T)
次数が異なるのでうーん・・・

もう一度ご助力願えますでしょうか(o_ _)ｏ