三平方の定理の問題

質問

質問失礼します。
数学の課題として解く問題が
難しくてわかりません！

良ければ教えてください！

円周上に点Ａがある。2点P、Qは、点Ａを同時に出発して、それぞれ反対方向に進み、点Pは一周するのに60秒、点Qは一周するのに40秒かかるとする。

1 PとQが円周上で初めてすれ違うのは何秒後か
2　　3点Ａ、P、Qを頂点とする△ＡPQを考える。PとQが初めてすれ違う前に、△ＡPQが二等辺三角形になるのは何秒後か。また、PとQが初めてすれ違う前に、△ＡPQが正三角形にならない理由を答えよ。

3　　Qが一周してＡに戻るまでに、△ＡPQが直角三角形になるのは何秒後か、すべて求めなさい。

どれかひとつでもお教えいただければうれしいです。
よろしくおねがいします

回答No.2

bran111

一応角度はrad表示で行いますが、あなたが中学生なら以下の式においてπを180°と置き換えれば計算は可能です。
Pの角速度は2π/60(1/sec),Qの角速度は2π/40(1/sec),円の中心をO,とするとP,Qの出発後t秒の時点において
∠AOP=2πt/60, ∠AOP=2πt/40

1 PとQが円周上で初めてすれ違うのは何秒後か

∠AOP+∠AOP=2πとなる時間である。すなわち
2πt/60+2πt/40＝2π
t=24（秒)
このとき
∠AOP=2π*24/60=4π/5, ∠AOQ=2π*24/40=6π/5, ∠AOP+∠AOP=2π
となり題意に適する。

2　　3点Ａ、P、Qを頂点とする△ＡPQを考える。PとQが初めてすれ違う前に、△ＡPQが二等辺三角形になるのは何秒後か。また、PとQが初めてすれ違う前に、△ＡPQが正三角形にならない理由を答えよ。

QはPより早いので、PとQが初めてすれ違う前(t<24)においてAP=AQとなることはない。可能なのはAQ=PQの場合である。この時点tにおいて
∠AOP=2πt/40, ∠QOP=2π-∠AOP-∠AOQ=2π-2πt/60-2πt/40,ゆえに
2πt/40=2π-2πt/60-2πt/40
t=15(秒)
このとき
∠AOP=3π/4, ∠AOQ=π/2, ∠QOP=2π-∠AOP-∠AOQ=2π-3π/4-π/2=3π/4=∠AOP
ゆえにAP=PQとなる二等辺三角形ができる。

PとQが初めてすれ違う前においては、QはPより早いので、AP=AQとなることはなく△ＡPQが正三角形になることはない。

3　　Qが一周してＡに戻るまでに、△ＡPQが直角三角形になるのは何秒後か、すべて求めなさい

Qが一周してＡに戻るのは∠AOQ=2πt/４0＝2π　⇒　t=40(秒)

よって0≦t≦40において考察する。

△ＡPQが直角三角形になるのは以下の3つの場合がある。
1）∠AOP=π
2）∠AOQ=π
3）∠POQ=π

1)∠AOP=2πt/60=π　⇒　t=30(秒)

このとき
∠AOP=π, ∠AOQ=3π/2, ∠QOP=2π-∠AOP-∠AOQ=2π-π-3π/2=-π/2
QとPがすれ違った後であるので-になっているが∠AOP=πを満たしており、△ＡPQは∠AQPが直角となる直角三角形になっている。

2）∠AOQ=2πt/40=π　⇒　t=20(秒)

このとき
∠AOP=2π/3, ∠AOQ=π, ∠QOP=2π-∠AOP-∠AOQ=2π-2π/3-π=π/3
QとPがすれ違う前であって、∠AOQ=πを満たしており、△ＡPQは∠APQが直角となる直角三角形になっている。

3）∠POQ=π
3-1）P,Qがすれ違う前(t<24)
∠POQ=∠AOP+∠AOQ=2πt/60+2πt/40=π　⇒　t=12(秒)
このとき
∠AOP=2π/5, ∠AOQ=3π/5, ∠QOP=∠AOP+∠AOQ=π
QとPがすれ違う前であって、∠POQ=πを満たしており、△ＡPQは∠PAQが直角となる直角三角形になっている。
3-2）P,Qがすれ違った後(t＞24)　⇒　∠AOP,∠AOQを逆回りに計算する必要がある。
(図を描いて確かめること)
∠POQ=∠AOP+∠AOQ=2π-2πt/60+2π-2πt/40=π　⇒　t=36(秒)
このとき順周りでは
∠AOP=6π/5, ∠AOQ=9π/5,
逆回りでは∠AOP=2π-6π/5＝4π/5, ∠AOQ=2π-9π/5＝π/5,
∠QOP=∠AOP+∠AOQ=π
QとPがすれ違った後であって、∠POQ=πを満たしており、△ＡPQは∠PAQが直角となる直角三角形になっている。

回答No.1

shintaro-2

タイトルと質問の中身が違うと言う疑問はさておいて

>1 PとQが円周上で初めてすれ違うのは何秒後か

これは小学校レベルの問題です。
落ち着いて解いてください。
1秒当たり、それぞれ何度進むのか考え
連立方程式を立てて解けばよいでしょう。
ちなみに20秒でQが半周、Pが120°ですから
あと少しです。

>2　　3点Ａ、P、Qを頂点とする△ＡPQを考える。PとQが初めてすれ違う前に、△ＡPQが二等辺三角形になるのは何秒後か。また、PとQが初めてすれ違う前に、△ＡPQが正三角形にならない理由を答えよ。

二等辺三角形の条件を考えてください。
すれ違うまで辺AQと辺APとは同じ長さになりえません。
従って辺AQまたは辺APとが二等辺三角形の底辺となります。
そうすると、点AQまたは点APの中点の反対側にPまたはQがいることになります。

＞3　　Qが一周してＡに戻るまでに、△ＡPQが直角三角形になるのは何秒後か、すべて求めなさい。

APQが60度刻みになる時間を計算してください。