小学校の発展問題です

質問

OA=3,OB=4,∠AOB=90°の直角３角形ＯＡＢがある点Ｐ、Ｑは頂点Ｏを同時に出発する。Ｐは毎秒１の速さでＯ→Ａ→Ｂ→Ｏの順に1周し、Ｑは毎秒２の速さでＯ→Ｂ→Ａ→Ｏのじゅんに１周する。

〔1〕点Ｐ、Ｑが出会った後Ｐ、Ｑ間の距離が１以上かつ２以下であるようなＸの値をもとめよ。

〔2〕点Ｒは、点Ｐ、Ｑと同時に頂点Ｏを出発して、毎秒3の速さでＯ→Ｂ→Ａ→Ｏのじゅんに１周する。点Ｒが辺ＡＢ（両端を含む）上をいどうしているとき、△ＰＱＲの面積が1/2となるのは出発してから何秒後か。

以上の問題がわかりません
〔1〕は自分では13/3≦ｘ≦14/3になったのですが答えは13/3≦ｘ≦9/2(26/6≦ｘ≦27/6)でした。
なぜでしょうか？ときかたは大体わかります
〔2〕はとき方からまったくわからないので根本的な考え方とくわしい解法をおしえてください
またこれらの問題は進研の過去門ですのでそういったものの回答がかかれているサイトがあったらおしえてください
よろしくおねがいいたします

回答No.3

freedom560 · ベストアンサー

すみません。
＞一応、ＱがＯＡ上にきたときにＰＱ間の距離が４以下になることが考えられますが
と書いていますが、２以下の間違いでした。

＞〔2〕は何かと比べて1/2というわけではなく面積そのものが1/2ということです。
そうですね。夜遅かったので最後の方寝ぼけてました・・

ちなみに、この問題は小学校の問題ではなく、高校の問題と考えていいのでしょうか？？それを前提ならこう考えます。

まず、ＲがＡＢ上にあるときには
ＰはＯＡ上にありますが、Ｑは４／３≦ｘ＜２まではＯＢ上、２≦ｘ≦３まではＡＢ上にあります。つまり、この２つに場合わけをしなければなりません。

では、この場合わけを考えます。
(1)ＱがＯＢ上（4/3≦x＜2）のとき
ＯＰ＝x、ＰＡ＝3-x
ＯＱ＝2x、ＱＢ＝4-2x
ＡＲ＝9-3x、ＲＢ＝3x-4
になります。
よって、
△ＯＰＱ＝(1/2)*x*2x＝x^2
△ＡＰＲ＝(1/2)*(3-x)*(9-3x)*(4/5)＝(6/5)*(x-3)^2
△ＢＲＱ＝(1/2)*(3x-4)*(4-2x)*(3/5)＝(-3/5)*(3x^2-10x+8)
となります。

よって、
△ＰＱＲ＝６－（△ＯＰＱ＋△ＡＰＲ＋△ＢＲＱ）=(-2/5)x*(x-3)
となります。

(-2/5)x*(x-3)=1/2を解くと、x=1/2、5/2が出てきますが、4/3≦x＜2なのでダメです。

(2)ＱがＡＢ上（2≦x≦3）のとき
ＲＢ＝3x-4、ＱＢ＝2x-4、ＯＢ＝4より
△ＰＱＲ＝△ＲＯＢ－△ＱＯＢ
＝(1/2)*(3x-4)*4*(3/5)-(1/2)*(2x-4)*4*(3/5)
＝(6/5)*{(3x-4)-(2x-4)}
＝(6/5)x となります。
(6/5)x=1/2を解くと
x=5/12 となります。これも2≦x≦3の範囲よりダメです。

つまり、この問題のままだと「1/2という面積になる解はなし」と言うのが正解でしょう。

＞答えは5/2とのっていますが、まったくわかりません
ＱがＢの地点でＡの方向に曲がらずにまっすぐ進むのならばそれが答えです。ただし、現状の問題ではＱはＡの方向に曲がってしまうため4/3≦x＜2という範囲が出てくることになり、5/2は適しません。

問題が悪いか、あなたの問題文見落としでしょう。

回答No.4

freedom560

すみません。また間違えました・・

＞(2)ＱがＡＢ上（2≦x≦3）のとき
＞ＲＢ＝3x-4、ＱＢ＝2x-4、ＯＢ＝4より
＞△ＰＱＲ＝△ＲＯＢ－△ＱＯＢ
これ△ＰＱＲじゃなくて△ＯＱＲですね。。

ＡＰ＝3-x、ＡＲ＝9-3x、ＡＱ＝9-2xより
△ＰＱＲ＝△ＡＰＱ－△ＡＰＲ
＝(1/2)*(3-x)*(9-2x)*(4/5)-(1/2)*(3-x)*(9-3x)*(4/5)
＝(2/5)*(3-x)*{(9-2x)-(9-3x)}=(2/5)*(3-x)*xです。
（先ほどと全く同じ式ですね）

(2/5)*(3-x)*x=1/2を解くとやはりx=1/2、5/2が出てきます。

よって、今度はx=5/2が範囲内に入り、答えがx=5/2となります。

＞問題が悪いか、あなたの問題文見落としでしょう。
私の勘違いでした。本当に申し訳ない・・

回答No.2

freedom560

＞点P,Qが出会った後、PQ間の距離が1以上2以下になるときのXの範囲が13/3≦ｘ≦9/2になるのがなぜか分からないのでこまってます。
ＰとＱが出会う場所はＡからＢに１だけ移動した場所なのです。ＱはＰより２倍の速さで動くので、ＱがＡにたどり着くときにはＰＱ間の距離は３／２であり、このときのｘが９／２となります。つまり、ｘが９／２より大きいときにはＱはＡＢ上ではなくＯＡ上にあ?
ることになります。（つまり、単純に２÷３という計算はできません。）

一応、ＱがＯＡ上にきたときにＰＱ間の距離が４以下になることが考えられますが、答えが９／２になっているということはＰＱがＡＢ上にある場合と言う条件があるのでしょうか？？

＞2〕はとき方からまったくわからないので根本的な考え方とくわしい解法をおしえてください
ＰＱＲの面積が1/2となるが何から比べて１／２なのかわからないので答えられません。

お礼

ご返答いただきありがとうございます
〔1〕はよくわかりました、ありがとうございました。
〔2〕は何かと比べて1/2というわけではなく面積そのものが1/2ということです。
答えは5/2とのっていますが、まったくわかりません

回答No.1

yumisamisiidesu

Xの説明がないように思いますがおそらく出発後からの時間なんでしょう.(単位:秒)

小学校の問題とあるのでAB=5になることを利用するのかどうかが疑問ですが...

[1]
　X(s)後にPとQが重なる
⇔X+2X=12n(nは整数)と表せる
i.e. X=4n(nは整数)と表せる
が言えます.
ただ、問題文を読むとP,Qも一周しかしないのでn=1の場合しかありませんね.
∴　　X(s)後にPとQが重なる⇔X=4
(これからは暫くはPとQの距離は増加します.)
(注 この問題では説明がありませんが△OABの周を測地線として扱います)
4s後、P,QはAB上にAから1離れた所にいます.

[2]辺の比と関係がありそうです

補足

早速のご解答ありがとうございます
残念ながらそこまでは全部わかって
点P,Qが出会った後、PQ間の距離が1以上2以下になるときのXの範囲が13/3≦ｘ≦9/2になるのがなぜか分からないのでこまってます。
なんででしょうか？